U332154 carbon 题解（期望）

合集 - 题解(40)

1.CF1656E（构造思想）2024-02-272.P10178(构造思想)2024-02-273.P10179（构造思想+实现）2024-02-274.P3963 (平衡树思想)2024-02-275.P10156（dp思想）2024-02-276.P3939 (ds实现)2024-02-277.CF776D（并查集思想）2024-02-278.CF243A （拆位思想）2024-02-279.ABC283E （dp思想）2024-02-2710.AT_joi2015ho_b （dp思想）2024-02-2711.P9588 （ds思想）2024-02-2712.CF482B （拆位思想+实现）2024-02-27

13.U332154 carbon 题解（期望）2024-02-27

14.U329011 trie pi 题解2024-02-2715.[ARC128D](计数dp)2024-02-2816.P1081 (倍增+代码实现技巧)2024-02-2817.CF1537D (博弈论+找规律)2024-02-2818.CF1557D （dx）(dp技巧)2024-03-3119.P3165/P2596（文艺平衡树套路）2024-03-0220.吉司机大杂烩2024-03-3121.ARC149C (构造)2024-04-0122.CF19D(树套树)2024-04-0123.网络流大杂烩2024-04-0124.U417376题解2024-04-0825.CF1748E(笛卡尔树)2024-04-1426.[CERC2019] Be Geeks!2024-04-1027.「Cfz Round 2」Binary2024-04-0928.CF1833G2024-04-0829.P102822024-04-1730.CF1939C2024-04-1731.2024省选OIFC模拟T12024-04-1832.P14072024-04-2533.P10218 魔法手杖2024-05-0134.P16532024-04-2535.取模二题2024-05-0336.CF1699C2024-05-1237.ABC3522024-05-1238.P6627 [省选联考 2020 B 卷] 幸运数字2024-05-1239.P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士2024-05-1240.2024PKUSC游记2024-05-12

收起

这题其实挺简单的......

首先我们手模样例,对于第一组样例其实就是在1-n之间取一个数，求取到的数的期望。所以E(x)=$\frac{1 + n}{2}$。

对于第二组样例,我们首先将所有可能情况枚举出来:

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

9 9 9 9 9 9 9 9 9 10

8 8 8 8 8 8 8 8 9 10

7 7 7 7 7 7 7 8 9 10

6 6 6 6 6 6 7 8 9 10

5 5 5 5 5 6 7 8 9 10

4 4 4 4 5 6 7 8 9 10

3 3 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

这行10可太突兀了

我们可以惊奇地发现它是一层包一层的，而对于每个数i，它在数组中出现了$i^2-(i-1)^2$次，所以他对期望的贡献就是
$i*(i^2-(i-1)^2)=i*((i+(i-1))*(i-(i-1)))=i*(2i-1)=2*i^2-i$
所以$E(x)=\frac{2*1^2+2*2^2+2*3^2+...+2*n^2-1-2-...-n}{n^2}=\frac{2*\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}-\frac{n*(n+1)}{2}}{n^2}$

所以答案就是$\frac{2*5*11*7-55}{100}=7.15$

考虑拓展成m维的矩阵:
对于每个数i,它在数组中出现了$i^m-(i-1)^m$次,所以它对答案的贡献就是$i*(i^m-(i-1)^m)=i*i^m-i*(i-1)^m$

所以$E(x)=\frac{1*1^m+2*2^m+...+n*n^m-1*(1-1)^m-2*(2-1)^m-...-n*(n-1)^m}{n^m}$

$=\frac{1*1^m+2*2^m+...+n*n^m-1*0^m-2*1^m-...-n*(n-1)^m}{n^m}$

$=\frac{n*n^m-1^m-2^m-...-(n-1)^m}{n^m}$

到这里好像已经能对付这个数据了，但是$\verb!1e6^1e6!$大约有$6*1e6$位，是肯定开不下的，我们不妨对公式进行变型

$E(x)=n-(\frac{1}{n})^m-(\frac{2}{n})^m-...-(\frac{n-1}{n})^m$

这样就可以啦，公式符合直觉，因为当m很大时$E(x)$接近n

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long T,n,m;
double qpow(double b,long long p){
	double ans=1,t=b;
	while(p!=0){
		if(p&1){
			ans*=t;
		} 
		t=t*t;
		p=p>>1; 
	} 
	return ans;
} 
int main(){
	cin>>n>>m;
	double sum=0;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		sum+=qpow(i*1.0/n,m);
	}
	printf("%.2lf\n",n-sum);
	
	return 0;
}