计算点、线、面等元素之间的交点、交线、封闭区域面积和闭合集(续1)

 

继续上一节的内容，本节主要讲解三维空间中射线、线段与平面及三维物体的交点及距离的计算，它们在碰撞检测和可见性剔除等应用中是必不可少的。首先给出3D空间下点乘和叉乘的定义与定理的推导，再谈如何应用到程序编码的工作中。

设三维空间中任意两矢量V(v1，v2，v3)和W(w1，w2，w3)

                                                                                                                                    
               由三角形的余弦公式：

                                      cosα = (a² + b² – c²)／2ab

               则两矢量夹角α的余弦 ： cosα = {(v1*v1 + v2*v2 + v3*v3) + (w1*w1+w2*w2+w3*w3)－ [ (w1 － v1)²+( w2 － v2)²+( w3 － v3)²] } / 2 |V| |W| = (v1w1+ v2w2 + v3w3)/ |V| |W|

               由于将矢量的点乘定义为 ： V·W = v1w1+ v2w2 + v3w3 ；

               所以 |V| |W| cosα = V·W；

               由上面的结论引申，可知道如果两矢量的点乘为0，则说明夹角α的余弦为0，即矢量的夹角是90度，互相垂直。

               再来看两矢量的叉乘，与点乘的计算结果定义为一数值不同，叉乘的结果定义为另外一个矢量 U (u1，u2，u3) ，其中：

                                             u1 = v2w3 － v3w2；

                                             u2 = v3w1 － v1w3；

                                             u3 = v1w2 － v2w1；

               由这个定义我们来推导：

               V·U = v1(v2w3 － v3w2) + v2(v3w1 － v1w3) + v3(v1w2 － v2w1) = v1v2w3 － v1 v3w2 + v2v3w1－v2 v1w3 + v3v1w2－v3 v2w1 = 0；两矢量的点乘为0，说明它们互相垂直。

               W·U = w1(v2w3 － v3w2) + w2(v3w1 － v1w3) + w3(v1w2 － v2w1) = 0,说明它们也是互相垂直的。

               在三维空间中，U与V、W都垂直，说明U是垂直与V与W构成的平面，也就是这个平面的法向量。

               U虽然是矢量，但其模|U|依旧是一个数值，表明其长度。

               |U|² = u1*u1 + u2*u2 + u3*u3 = (v2w3 － v3w2)²+( v3w1 － v1w3)²+( v1w2 － v2w1)²；

               同时考虑，在α是V、W两矢量的夹角条件下，(|V| |W|sinα)²= |V|²|W|²（1－cos²α）= |V|²|W|² － |V|²|W|²cos²α = |V|²|W|² － (V·W)²= (v1*v1 + v2*v2 + v3*v3)( w1*w1+w2*w2+w3*w3) － (v1w1+ v2w2 + v3w3)²

               通过化解，可以得到一个数学等式，即：

               （bz－cy）²+(cx－az)²+(ay－bx)²=（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）－（ax+by+cz）²

               所以 (v2w3 － v3w2)²+( v3w1 － v1w3)²+( v1w2 － v2w1)²  = (v1*v1 + v2*v2 + v3*v3)( w1*w1+w2*w2+w3*w3) － (v1w1+ v2w2 + v3w3)²；

               即                          |U|² = (|V| |W|sinα)²

                                    |U| = |V| |W|sinα

            在完成三维空间的点乘和叉乘定义与公式推导后，可以直接运用结论到程序的编写中，这些结论包括利用点乘来求得夹角的余弦，利用点乘为0来求得垂直于某向量的另一向量，利用两向量的叉乘来求得平面的法向量，利用叉乘的模来求得三角形的面积等。

            三维空间中点到直线、射线和线段的距离。即从点P作垂直于线段（P0,P1）的垂线，求得垂心T后，计算两点之间的距离。

                                                   

          设置T点为参数表达方式： T = P₀ + t(P₁ –P₀)；将T点看作是从P₀开始往P₁移动的动态点，则矢量PT为PP₀与P₀T两个矢量之和，当PT垂直于P₀P₁时，利用两个矢量的点乘为0列等式，求得参数t的数值。

                       (PP₀ + P₀T) ·P₁P₀ = 0；

                              即 （P－P₀）·(P₁ –P₀) + t(P₁ –P₀) ·(P₁ –P₀) = 0;

                       t = - （P－P₀）·(P₁ –P₀) / (P₁ –P₀) ·(P₁ –P₀)

        可以看出分子是需要计算两个矢量的点乘，而分母是矢量P₀P₁点乘自身，即为模的平方。

double CDEMAlgorithm::dist_Point_to_Line( Point P, Line L)

{

    Vector v = L.P1 - L.P0;                                     //顶点相减得到矢量

    Vector w = P - L.P0;                                    //顶点相减得到矢量

    double c1 = Dot(w,v);                                   //两矢量的点乘

    double c2 = Dot(v,v);                                   //两矢量的点乘

    double b = c1 / c2;                                     //求得参数

    Point Pb = L.P0 + b * v;                                //解得参数后，得到垂心位置

    return d(P, Pb);                                        //返回两点之间的距离

}