FFT总结

对于一个多项式，如果我们能等到n个点值，就能求出多项式的各个系数

所以对于$F(x) = f(x) * g(x)$, 可以通过求出n个f(x)的值进而求出F(x)的系数

我们令这n个点分别为$ω_n^0, ω_n^1, ω_n^2 .... ,ω_n^n - 1$

其中 $ω_n^n = 1, ω_n^\frac{n}{2} = -1$

而对于$f(ω_n^k)$, 我们有

$$f(ω_n^k) = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}a_i *ω_n^{ki} = \sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i} *ω_n^{2ki}+ω_n^{k}\sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i + 1} *ω_n^{2ki}$$

$$=\sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i} *ω_{\frac{n}{2}}^{ki}+ω_n^{k}\sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i + 1} *ω_{\frac{n}{2}}^{ki}$$

 

而对于$f(ω_n^{k + \frac{n}{2}})$

$$f(ω_n^{k + \frac{n}{2}}) = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1}a_i *ω_n^{{(k+ \frac{n}{2}})i} = \sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i} *ω_n^{2ki}+ω_n^{k + \frac{n}{2}}\sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i + 1} *ω_n^{2ki}$$

$$=\sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i} *ω_{\frac{n}{2}}^{ki}- ω_n^{k}\sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} - 1}a_{2i + 1} *ω_{\frac{n}{2}}^{ki}$$

 

于是发现

$$f(ω_n^k) = u + v$$

$$f(ω_n^{k + \frac{n}{2}}) = u - v$$

然后发现求出点值后，直接求逆就能得到多项式的系数，就像下面的图片所述。。。

而u和v我们可以用同样的方法递归求解 这样是均摊(logn)的

当然FFT是递归的常数是很大的，所以我们可以先预处理出来，这个学一学模板就好了

有一个关于这个操作很详细的解释 补充——FFT中的二进制翻转问题

 

至于NTT，如果模数是一个2 ^ n * k + 1之类的数，例如998244353， 我们可以令$ω_n^k = 3^{\frac{p - 1}{n}k}$,剩下的操作是相同的。

学会了理论，板子背一下就好了。  板子见下 ：

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define pi acos(-1)
#define E complex<double>

using namespace std;

const int MAXN = 5e6 + 10;

inline LL read()
{
    LL x = 0, w = 1; char ch = 0;
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-') {
            w = -1;
        }
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * w;
}

E a[MAXN], b[MAXN];
int n, m, L;
int R[MAXN];

void FFT(E *a, int f)
{
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(i < R[i]) {
            swap(a[i], a[R[i]]);
        }
    }
    for(int i = 1; i < n; i <<= 1) {
        E wn(cos(pi / i), f * sin(pi / i));
        for(int p = i << 1, j = 0; j < n; j += p) {
            E w(1, 0);
            for(int k = 0; k < i; k++, w *= wn) {
                E x = a[j + k], y = w * a[j + k + i];
                a[j + k] = x + y, a[j + k + i] = x - y;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    n = read(), m = read();
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        a[i] = read();
    }
    for(int i = 0; i <= m; i++) {
        b[i] = read();
    }
    m = n + m;
    for(n = 1; n <= m; n <<= 1) {
        L++;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        R[i] = ((R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1)));
    }
    FFT(a, 1), FFT(b, 1);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        a[i] = a[i] * b[i];
    }
    FFT(a, -1);
    for(int i = 0; i <= m; i++) {
        printf("%d ", (int)(a[i].real() / n + 0.5));
    }
    return 0;
}