bzoj 1096[ZJOI2007]仓库建设 - dp + 斜率优化
1096: [ZJOI2007]仓库建设
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L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
又是一道斜率优化的题
可以列出最简单的转移方程 ：
$$dp[i] =min(dp[j] +\sum\limits_{k = j + 1}^i p[k] * (x[i] - x[k])) [j ∈ (0, i - 1)] + c[i]$$
$$dp[i] = dp[j] + x[i] * \sum\limits_{k = j + 1}^i p[k] - \sum\limits_{k = j + 1} ^ i p[k] * x[k]$$
但这是 $n ^ 2$的
所以我们可以转换一下
令
$$s[i] = \sum\limits_{k = j + 1}^i p[k] $$
$$t[i] = \sum\limits_{k = j + 1} ^ i p[k] * x[k]$$
则
$$dp[j] + t[j] = x[i] * s[j] + dp[i] + t[i] - c[i] - s[i]*x[i]$$
于是点坐标为 $(s[j], dp[j] + t[j])$
dp[i] 为 斜率为x[i] 且经过这些点的直线中斜率最小的
因为 x[i]单调递增，所以可以用凸包维护
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #define LL long long 6 7 using namespace std; 8 9 const int MAXN = 1e6 + 100; 10 11 int N; 12 LL x[MAXN], p[MAXN], c[MAXN], sum[MAXN], t[MAXN]; 13 LL dp[MAXN]; 14 struct node { 15 double x, y; 16 } n[MAXN]; 17 LL s[MAXN]; 18 inline LL read() 19 { 20 LL x = 0, w = 1; char ch = 0; 21 while(ch < '0' || ch > '9') { 22 if(ch == '-') { 23 w = -1; 24 } 25 ch = getchar(); 26 } 27 while(ch >= '0' && ch <= '9') { 28 x = x * 10 + ch - '0'; 29 ch = getchar(); 30 } 31 return x * w; 32 } 33 34 double slope(int a, int b) 35 { 36 return (n[a].y - n[b].y) / (n[a].x - n[b].x); 37 } 38 39 int head = 0, tail = 0; 40 int main() 41 { 42 // freopen("storage8.in", "r", stdin); 43 // freopen("storage.out", "w", stdout); 44 N = read(); 45 for(int i = 1; i <= N; i++) { 46 x[i] = read(), p[i] = read(), c[i] = read(); 47 sum[i] = sum[i - 1] + p[i]; 48 t[i] = t[i - 1] + p[i] * x[i]; 49 } 50 s[tail++] = 0; 51 for(int i = 1; i <= N; i++) { 52 while(head < tail - 1 && slope(s[head], s[head + 1]) <= x[i]) { 53 head++; 54 } 55 dp[i] = dp[s[head]] + (sum[i] - sum[s[head]]) * x[i] + (t[s[head]] - t[i]) + c[i]; 56 n[i].x = sum[i]; 57 n[i].y = dp[i] + t[i]; 58 while(tail > head + 1 && slope(s[tail - 1], s[tail - 2]) > slope(i, s[tail - 1])) { 59 tail--; 60 } 61 s[tail++] = i; 62 } 63 printf("%lld\n", dp[N]); 64 // fclose(stdin); 65 // fclose(stdout); 66 return 0; 67 } 68 69 /* 70 3 71 72 0 5 10 73 74 5 3 100 75 76 9 6 10 77 78 */
