bzoj1010[HNOI2008]玩具装箱toy - dp + 斜率优化

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

一道很好的练习斜率优化的题目 （大家都这么说~~）

dp 方程很容易看出 令 sum[i] = $\sum_1^j C[j]$

$f[i] = min(f[i], f[j] + (sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L) ^ 2)$

我们来对上面的式子进行化简

令s[i] = sum[i] + i

所以$f[i] = f[j] + (s[i] - s[j] - (L +1) ^ 2)$

            $= f[j] + s[i] ^ 2 - 2 * s[i] * (s[j] + L + 1) + (s[j] + L + 1) ^ 2$

我们进行一下移项

$f[j] + (s[j] + L + 1) ^ 2 = s[i] * 2 * (s[j] + L + 1) + (f[i] - s[i] ^ 2)$

于是这个式子就变为了 y = kx + b 的形式

即$ y = f[j] + (s[j] + L + 1) ^ 2, k = s[i], x = 2 * (s[j] + L + 1) , b = f[i] - s[i]^2$

我们可以设点$j = (2 * (s[j] + L + 1), f[j] + (s[j] + L + 1) ^ 2)$

那么原来从j 到 i 的转移方程就变为了已知点j 和斜率 s[i], f[i]即为截距

而因为s[i] 是单调递增的，我们便可以用一个单调队列来维护

 

 

 

假设这是我们现有的队列中对应的凸包

当我们要更新i时

对应直线斜率是s[i]

可以想象， 如果凸包最前面的直线的斜率是小于s[i]的，那么左边的点对应的截距也会大，因此我们可以将对首的点弹出

当f[i]更新后，我们要将i点放入凸包中

就用同样的查找凸包操作，从队尾弹出即可

 

我写的时候因为把 dp 数组设为了 long long 结果就炸了精度，调了老半天，一定小心 TAT！！

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 10;
LL N;
double L;
double sum[MAXN];
double s[MAXN];
double f[MAXN];
LL c[MAXN];
int q[MAXN];
int head = 0, tail = 0;
struct node {
    double y;
    double x;
} t[MAXN];
inline LL read()
{
    LL x = 0, w = 1; char ch = 0;
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-') {
            w = -1;
        }
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * w;
}

double cal(int a, int b)
{
    return (t[a].y - t[b].y) / (t[a].x - t[b].x);    
}
int main()
{
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    N = read(), L = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        c[i] = read();
        sum[i] = sum[i - 1] + c[i];
        s[i] = sum[i] + i;
    }
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    t[0].x = 2 * (L + 1);
    t[0].y = (L + 1) * (L + 1);
//    cout<<t[0].x<<" "<<t[0].y<<endl;
    tail = 1;
    q[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        while(head + 1 < tail && cal(q[head], q[head + 1]) <= s[i]) {
            head++;
        }
        int j = q[head];
        f[i] = f[j] + (s[i] - s[j] - (L + 1)) * (s[i] - s[j] - (L + 1));
        t[i].x = 2 * (s[i] + L + 1);
        t[i].y = f[i] + (s[i] + L + 1) * (s[i] + L + 1); 
        while(tail > head + 1 && cal(q[tail - 1], i) < cal(q[tail - 1], q[tail - 2])) {
            tail--;
        }
        q[tail++] = i; 
    }
    printf("%lld\n", (LL)f[N]);
    return 0;
}

/*
5 4

3

4

2

1

4
*/