计组学习笔记之数据的表示和运算

1 进位计数制

1.1 r 进制计数法

• r 进制

  $$K_nK_{n-1}...K_2K_1K_0K_{-1}K_{-2}...K_{-m}\\ =K_n*r^n+K_{n-1}*r^{n-1}+...+K_2*r^2+\\K_1*r^1+K_0*r^0+K_{-1}*r^{-1}+...+K_{-m}*r^{-m}$$

• 基数：每个数码位用到的不同符号的个数，r 进制的基数为 r

1.2 r 进制转十进制

• 即：上述公式 (1)

1.3 二、八、十六进制转换

• 二进制转八进制：三位为一组，不够的补零（整数部分补在头部，小数部分补在尾部），然后各组转换为对应的八进制

  

• 八进制转二进制：每位八进制，转成对应的 3 位二进制数

  

• 二进制转十六进制：四位为一组，不够的补零（整数部分补在头部，小数部分补在尾部），然后各组转为对应的十六进制

  

• 十六进制转二进制：每位十六进制，转成对应的 4 位二进制数

  

1.4 各进制常见书写方式

• 二进制：$(10101)_2$ 、$10101B$
• 八进制：$(1652)_8$
• 十进制：$(1652)_{10}$ 、$1652D$
• 十六进制：$(1652)_{16}$ 、$1652H$ 、$0x1652$

1.5 十进制转 r 进制

• 整数部分：除基取余，由高到低

  

• 小数部分：乘基取证，由高到低

  

1.6 真值和机器数

• 真值：符合人类使用习惯的数字

• 机器数：数字实际存储到机器中的形式，正负号需要被数字化

  

2 BCD 码

2.1 8421 码

• 定义：一个二进制位可以表示两种状态，那么四位二进制码则可以表示 16 种状态，取其中的 10 种来一一映射到 0 ~ 9，则此时，四个比特位对应的权值由高位到低位分别是 8、4、2、1，则 8421 码由此得来
• 分类：每个比特位对应的权值都是固定的，因此属于有权码
• 8421 码一一映射关系

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

• 8421 码计算加法

  • 将两个十进制数转为二进制后相加，若结果不在上述映射表中，则将结果加上 $(0110)_2$ 进行修正

  

2.2 余 3 码

• 定义：余 3 码是在 8421 码的基础上，再加上 $(0011)_2$ 得来的
• 分类：每个比特位的权值不固定，因此属于无权码
• 余 3 码一一映射关系

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100

2.3 2421 码

• 定义：与 8421 码类似，只是改变了权值定义，从高位到低位的权值分别是 2、4、2、1

• 2421 码一一映射关系

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0000	0001	0010	0011	0100	1011	1100	1101	1110	1111

• 2124 码规定：0 ~ 4 第一位位一定是 0；5 ~ 9 第一位一定是 1

3 字符与字符串

3.1 英文编码

• 常用英文字符（包括标点符号）共 128 个，即 $2^7=128$ ，可使用 7 个比特位进行表示，但由于计算机内部存储都是 $2^n$ 关系，因此使用 8 个比特位，即一个字节来表示英文的字符与标点（即 ASCII 码）

• ASCII 码表有如下特点：

  • 32 ~ 126 均为可印刷字符，其余为控制、通信字符
  • 数字（48 ~ 57）：$48(0011\ 0000)\ \ - \ \ 57(0011\ 1001)$ ，前四位均相同，后四位就是 0 ~ 9 分别对应的二进制码
  • 大写字母（65 ~ 90）：$65(0100\ 0001)\ \ -\ \ 90(0101\ 1010)$ ，前三位均相同，后五位就是 1 ~ 26 对应的二进制码
  • 小写字母（97 ~ 122）：$97(0110\ 0001)\ \ -\ \ 122(0111\ 1010)$ ，前三位均相同，后五位就是 1 ~ 26 对应的二进制码

3.2 中文编码

以 GB 2312-80 为例，汉字 + 各种符号共有 7445 个

• 区位码：使用 94 个区，每个区 94 个位置（即一个行列数均为 94 的矩阵）来表示（例如：汉字“啊”表示为： 16 01）

• 国标码：如果传输中某汉字对应的区位码刚好在 ASCII 码表的 0 ~ 31 位中，那么就会被计算机误认为是控制字符、通信字符。为了避免这一问题，则区位码分别加 32 （20H），此时就是国标码

• 汉字内码：国标码可能还会与 32 ~ 127 的字符冲突，因此区位码再分别加 64 （80H），此时就是汉字内码

• 汉字字形码：计算机存储的汉字输出时，会转换为汉字字形码进行输出

  

3.3 字符串

4 奇偶校验码

• 奇偶校验码结构

  

• 奇校验码：整个校验码（有效信息位 + 校验位）中“1”个数为奇数

• 偶校验码：整个校验码（有效信息位 + 校验位）中“1”个数为偶数

• 缺点：当传输过程中，发生跳变的位数为奇数时，可以检测到信息出错；但是当为偶数时，则无法检验是信息否出错

• 偶校验的机器实现：各信息进行异或（模2加）运算，得到的结果即为偶校验位

5 海明校验码

5.1 设计思想

对编码分组进行偶校验，多个校验位可以反映出错的位置

5.2 求解步骤

• 确定校验位的个数
  • k 个校验位，n 个信息位
  • 满足 $2^k\ge n+k+1$
• 确定校验位分布
  • 校验位 $P_i$ 位于第 $2^{i-1}$ 位，即第 $1、2、4、8、16、...$ 位
  • 空出来的其余位置依次填入信息位 $D_i$
• 求校验位的值
  • 将信息位的位置序号用 k 位二进制数表示出来
  • 校验位 $P_i$ 与位置序号第 $i$ 位为 1 的信息位归类为一组，并进行偶校验
• 纠错
  • 对 $P_1、P_2、P_3、...、P_n$ 所属各组进行异或（相当于再次分组偶校验），求得 $S_1、S_2、S_3、...、S_n$
  • 若 $S_1\ S_2\ S_3\ ...\ S_n=\ 000...0$ ，则说明无错
  • 若 $S_1\ S_2\ S_3\ ...\ S_n \not=\ 000...0$ ，则其值反应出错位置

5.3 特点

• 海明码与 1 位纠错，2 位检错能力
• 为了区分 1 位还是 2 位出错，需要添加一个“全校验位”，并对整体进行偶校验

【例】海明码求解例题

6 循环冗余校验码

6.1 设计思想

数据发送方、接收方共同约定一个“除数”，K 个信息位 + R 个校验位作为“被除数”，添加校验位后需保证“模二除”的余数为 0

6.2 求解步骤

• 构造
  • 由生成多项式确定“除数”
  • 若生多项式中 x 的最高次方数为 R，则“除数”有 R + 1 位
  • K 个信息位 + R 个 0，作为“被除数”
  • “被除数”、“除数”进行模二除运算，得到 R 位余数
  • K 个信息位 + R 位余数 = CRC 码（循环冗余校验码）
• 校验
  • 收到 K + R 位数据，与生成多项式进行模二除，计算 R 位余数
  • 余数为 0，说明无错
  • 余数非 0，说明出错
• 检错、纠错能力
  • 可以检测数所有奇数个错误
  • 可以检测出所有双比特位的错误
  • 可以检测出所有小于等于校验位长度的连续错误
  • 若选择合适的生成多项式，且满足 $2^R\ge K+R+1$ ，则可以纠正单比特位错误
  • 对于确定的生成多项式，出错位于余数是相对应的

【例】循环冗余校验码例题

7 定点数的表示

7.1 无符号数

• 定义：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值
• 范围：$[0,\ 2^n-1]$
• 通常只有无符号整数，而没有无符号小数

7.2 有符号数

• 多一个符号位，0 正 1 负

7.3 原码

• 定义：用尾数表示真值的绝对值，符号位“0 / 1”对应“正 / 负”
• 若机器字长为 n + 1 位，则符号位永远占 1 位，尾数占 n 位
• 若机器字长为 n + 1 位，则原码整数的范围：$[-(2^n-1),\ 2^n-1]$
• 若机器字长为 n + 1 位，则原码小数的范围：$[-(1-2^{-n}),\ 1-2^{-n}]$
• 对于真值 0，有 $+0、-0$ 两种形式

7.4 反码

• 若符号位为 0，则反码与原码相同

• 若符号位为 1，则数值位全部取反

• 反码与原码表示的范围相同

• 对于真值 0，有 $+0、-0$ 两种形式

7.5 补码

• 若符号位为 0，则补码与原码相同
• 若符号位为 1，则在反码末尾 + 1（要考虑进位）
• 若机器字长为 n + 1 位，则补码整数的范围：$[-2^n,\ 2^n-1]$
• 若机器字长为 n + 1 位，则补码小数的范围：$[-1,\ 1-2^{-n}]$
• 对于真值 0，只有一种表示形式
• 补码转原码与原码转补码方式一致：尾数取反，末位 + 1
• 作用：使用补码可以将减法操作转变为加法操作，ALU 无需再设计减法器，降低硬件成本。进行加减法操作时，符号位一起参与运算

7.6 移码

• 在补码的基础上，将符号位取反就是移码
• 移码只能用于表示定点整数
• 若机器字长为 n + 1 位，则补码整数的范围：$[-2^n,\ 2^n-1]$
• 对于真值 0，只有一种表示形式
• 作用：用来方便的比较大小，从最高位开始比较，先出现 1 的数较大

【补充】根据 $[x]_补$ 快速求 $[-x]_补$ 的方式：符号位、数值位全部取反，然后末位 + 1

8 移位运算

8.1 算术移位

• 定义：通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各个数码位的位权，从而实现乘法、除法运算

• 原码的算术移位：符号位保持不变，仅对数值位进行移位

  • 原码算术右移

    • 高位补 0，低位舍弃
    • 若舍弃的位是 0，相当于 ÷ 2
    • 若舍弃的位非 0，则会丢失精度

    

  • 原码算术左移

    • 低位补 0，高位舍弃
    • 若舍弃的位是 0，相当于 ×2
    • 若舍弃的位非 0，则会出现严重误差

    

• 反码的算术移位

  • 正数的反码移位与原码移位完全相同
    • 右移：高位补 0，低位舍弃
    • 左移：低位补 0，高位舍弃
  • 负数的反码移位规则如下
    • 右移：高位补 1，低位舍弃
    • 左移：低位补 1，高位舍弃

• 补码的算术移位

  • 正数的补码移位与原码移位完全相同

    • 右移：高位补 0，低位舍弃
    • 左移：低位补 0，高位舍弃

  • 负数的补码移位规则如下

    • 右移（同反码）：高位补 1，低位舍弃
    • 左移（同原码）：低位补 0，高位舍弃

    

8.2 逻辑移位

• 逻辑右移：高位补 0，低位舍弃
• 逻辑左移：低位补 0，高位舍弃
• 逻辑左移相当于对“无符号数”的算术移位

8.3 循环移位

• 循环左移：舍弃的高位去填补空出来的低位

  

  

  

• 循环右移：舍弃的低位去填补空出来的高位

• 带进位位的循环移位

  

  

  

• 应用：实现大端存储和小端存储之间的转换（循环左/右移总字节位）

9 加减运算

9.1 原码的加减运算

• 原码的加法运算（计算机中通常不使用原码进行加减运算）
  • 正 + 正：绝对值做加法，结果为正，可能溢出
  • 负 + 负：绝对值做加法，结果为负，可能溢出
  • 正 + 负：绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数
  • 负 + 正：绝对值大的减绝对值小的，符号同绝对值大的数
• 原码的减法运算：将“减数”的符号取反，转变为加法后再运算

9.2 补码的加减运算

9.3 溢出的判断

该例子中，可以看到计算结果并不对，因为计算结果超出了机器字长所能表示的范围，所以发生了溢出，那么机器怎么可以判断是否溢出呢？

• 溢出的分类

  • 上溢：只有“正 + 正”才会上溢，即“正 + 正 = 负”
  • 下溢：只有“负 + 负”才会下溢，即“负 + 负 = 正”

  

• 溢出的判断（设计算 “A + B”发生溢出）

  • 一位符号位判断溢出
    • 定义：设 A 的符号位为 $A_S$ ，B 的符号位为 $B_S$ ，运算结果的符号为 $S_S$ ，则溢出判断的逻辑表达式为：$V=A_SB_S\overline S_S+\overline A_S\overline B_SS_S$ （其中：$A_SB_S$ 表示与运算；$\overline A_S$ 表示非运算；$A + B$ 代表或运算）
    • 若 $V=0$ ，则表示无溢出
    • 若 $V=1$ ，则表示有溢出
  • 一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出
    • 定义：设符号位的进位为 $C_S$ ，最高数值位的进位为 $C_1$ ，则判断溢出的逻辑表达式为：$V=C_S\bigoplus C_1$ （其中：$\bigoplus$ 表示异或运算）
    • 若 $V=0$ ，则表示无溢出
    • 若 $V=1$ ，则表示有溢出
  • 双符号位
    • 定义：正数符号位为 00，负数符号位为 11，记两个符号位分别为 $C_{S1}、C_{S2}$ ，则判断溢出的逻辑表达式为：$V=C_{S1}\bigoplus C_{S2}$ （其中：$\bigoplus$ 表示异或运算）
    • 若 $V=0$ ，则表示无溢出
    • 若 $V=1$ ，则表示有溢出

9.4 符号扩展

10 乘法运算

10.1 原码一位乘

• 设机器字长为 n + 1 位，数值部分占 n 位
• 符号位“乘数”和“被乘数”的符号位异或来决定
• 数值位
  • 被乘数和乘数通过 n 轮加法、移位完成，根据当前乘数中参与运算的位确定 ACC 应该加什么
  • 若当前运算位值为 1，则 $(ACC)+[|X|]_原$
  • 若当前运算位值为 0，则 $(ACC)+0$
  • 每轮加法结束后，$ACC、MQ$ 中的内容统一逻辑右移一位

10.2 补码一位乘

• 设机器字长为 n + 2 位，数值位占 n 位
• 符号位参与运算
• 数值位
  • 辅助位 - MQ 中最低位 = 1 时，$(ACC)+[X]_补$
  • 辅助位 - MQ 中最低位 = 0 时，$(ACC)+0$
  • 辅助位 - MQ 中最低位 = -1 时，$(ACC)+[-X]_补$

10.3 原码乘 VS 补码乘

• 符号位
  • 原码：不参与运算，通过异或确定
  • 补码：与数值位一起参与运算
• 数值位
  • 原码：由被乘数、乘数的绝对值进行 n 轮加法、n 轮移位得到
  • 补码：由被乘数、乘数进行 n 轮解法、n 轮移位，最后再多一次加法得到
• 加法
  • 原码：可能 $+0、+[|X|]_原$
  • 补码：可能 $+[X]_补、0、+[-X]_补$
• 移位
  • 原码：每次都是“逻辑右移”
  • 补码：每次都是“补码的算术右移”

11 除法运算

11.1 原码除法

• 恢复余数法（默认被除数为 $x$ ，除数为 $y$ ）

  • 设机器字长为 n + 1 位，符号位占 1 位，数值位占 n 位
  • 符号位单独处理 $=x_s\bigoplus y_s$
  • 数值位取绝对值进行除法计算
  • 若余数为负，则商 0，并 $+|除数|$ ，实现恢复余数，再将余数逻辑左移，进行下一步
  • 若余数为正，则商 1，然后余数逻辑左移

  

• 加减交替法（不恢复余数法）（默认被除数为 $x$ ，除数为 $y$ ）

  • 设机器字长为 n + 1 位，符号位占 1 位，数值位占 n 位
  • 符号位单独处理 $=x_s\bigoplus y_s$
  • 数值位取绝对值进行除法计算
  • 若余数为负，则商 0，并将余数逻辑左移，然后再 $+|除数|$
  • 若余数为正，则商 1，并将余数逻辑左移，然后再 $-|除数|$

  

11.2 补码除法

• 符号位参与运算
• 被除数、除数、余数均为双符号位
• 被除数和除数同号，则被除数减去除数；否则被除数加上除数
• 若余数和除数同号，则商 1，余数逻辑左移移一位，然后减去除数
• 若余数和除数异号，则商 0，余数逻辑左移移一位，然后加上除数
• 以上步骤共重复 n 次
• 重复 n 次后，末位的商恒置为 1 （精度误差不会超过 $2^n$ ）

11.3 除法运算的比较

12 数据的大小和排列

12.1 大小端模式

• 多字节数据在内存中一定是占据着连续的几个字节

• 最高有效字节（MSB），最低有效字节（LSB）（例如：某 int 字节为 01 23 45 67 H，则01 为最高有效字节，67 为最低有效字节）

  

12.2 边界对齐

• 现代计算机通常是按照字节编址，即每个字节对应一个地址

• 通常也支持按字、按半字、按字节寻址

• 假设存储字长为 32 位，则 1字 = 32 bit，半字 = 16 bit，每次访存只能读/写 1 个字

• 边界对齐（空间换时间）

  

• 边界不对齐（时间换空间）

  

13 浮点数的表示

13.1 表示

• 阶码：指明小数点后移、前移位数，通常是由补码、移码表示的定点整数

• 尾数：给出具体数值，通常是用补码、原码表示的定点小数

• 真值：$N=r^E* M$

  

13.2 规格化

• 尾数的最高数值位必须是一个有效值(类比十进制科学计数法，通常我们会让数值部分最高位为非0)
• 左规：数值位最高位无效时，通过尾数算数左移、阶码减 1 的方法处理，直到尾数最高数值位有效时停止
• 右规：若采用双符号位表示尾数，则当运算后尾数“假溢出”"时，可以通过尾数右移、阶码加 1 的方法处理
• 原码表示的尾数规格化：尾数的最高数值位必须是 1
• 补码表示的尾数规格化：尾数最高数值位必须和尾数符号位相反

13.3 表示范围

14 浮点数标准 IEEE 754

14.1 浮点数结构

• 阶码部分用移码表示
• 尾数用原码表示，且隐藏表示最高位的 1，即 1.M
• 偏置值总是 $2^{n-1}-1$
• 由浮点数确定真值
  • 根据“某浮点数”，确定数符、阶码、尾数的分布
  • 确定尾数 1.M （最高位隐含 1）
  • 确定阶码的真值 = 移码 - 偏置值（可将移码看做无符号数，用无符号数的值减去偏置值）
  • $(-1)^S*1.M*2^{E-偏置值}$

14.2 各类型的结构

14.3 浮点数的转换

【例 1】将十进制数 -0.75 转换为 IEEE 754 的单精度浮点数格式表示

【例 2】IEEE 754 的单精度浮点数 $C0\ A0\ 00\ 00\ H$ 的真值是多少

14.4 表示范围

• 最小绝对值：尾数全为 0，阶码真值最小 -126，对应的移码机器数 0000 0001，此时整体的真值为 $(1.0)_2*2^{-126}$
• 最大绝对值：尾数全为 1，阶码真值最大 127，对应移码机器数 1111 1110，此时整体的真值为 $(1.11...11)_2*2^{127}$
• 表示类型
  • 常规浮点数： $1\le E\le 254$ 时，真值 $=(-1)^S*1.M*2^{E-127}$
  • 非规格化小数：阶码 E 全为 0，尾数 M 不全为 0，即 $\pm(1.xxx)_2*2^{-126}$
  • 真值 $\pm 0$ ：阶码 E、尾数 M 全为 0
  • 无穷大、无穷小：阶码 E 全为 1，尾数 M 全为 0
  • 非数值（NaN）：阶码 E 全为 1，尾数 M 不全为 0

15 浮点数的运算

15.1 浮点数加减运算

• 格式转换：将所给的十进制数根据题目规定的阶符、阶码、数符、尾数位数，转换为对应的二进制形式
• 对阶：统一两者的阶数，较小的向较大的靠齐（如果是较大的向较小的靠齐，因为计算机内部表示浮点数的尾数是定点小数，这样操作会让尾数有好几个有效位，这与规格化向违背）
• 尾数加减：通常是用双符号位表示尾数，这样可以有效拯救溢出，尾数相加减，阶码不改变
• 规格化：若是尾数出现多个有效位，则要进行“右规”，否则要实行“左规”
• 舍入：若结果超过了规定的有效尾数位数，则要进行舍入
  • “0”舍“1”入法：在进行右规时，若别已取得最高位数值为 0，则直接舍去；若为 1，则在剩余尾数的末尾 +1，这可能会导致再次溢出，此时又要再次进行右规
  • 恒置“1”法：尾数右移时，无论丢弃的尾数的最高位是何值，都将右移后的尾数末尾置为“1”，这样可能会使尾数变大或者变小
• 判断溢出：若规定阶码不能超过两位，则计算后阶码超过范围，则会发生溢出（真正的溢出，尾数溢出有时可以通过规格化来拯救）

【例 1】不考虑舍入

例：已知十进制数X = -5/256、Y = +59/1024,按机器补码浮点运算规则计算 X - Y, 结果
用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取 2 位，阶码取 3 位，数符取 2 位，尾数取 9 位

【例 2】考虑舍入

16 ALU 基本原理

16.1 电路基础知识

• 逻辑运算：与、或、非

  

• 与非、或非、异或、同或

  

• 逻辑表达式就是电路的数学化表示，根据逻辑运算的规则对逻辑表达式进行优化，就是在优化电路

16.2 加法器的实现

• 一位全加器

  • 两个本位都为 1
  • 两个本位中，有一个是 1，且是来自低位的进位

  

• 串行加法器

  • 只有一个全加器，数据逐位串行送入加法器中进行运算
  • 进位触发器用来寄存进位信号，以便参与下一次运算
  • 如果操作数长 n 位，加法就要分 n 次进行，每次产生一位和，并且串行逐位地送回寄存器

  

• 并行加法器

  • 把 n 个全加器串接起来，就可进行两个 n 位数的相加

  

17 本章总结

• 图片总结

  ​

• 总结思维导图