careercup-递归和动态规划 9.3

9.3 在数组A[0...n-1]中，有所谓的魔术索引，满足条件A[i]=i。给定一个有序整数数组，元素值给不相同，编写一个方法，在数组A中找出一个魔术索引，若存在的话。

进阶：

如果数组元素有重复值，又该如何处理。？

解法一，选择蛮力法，我们可以直接迭代访问整个数组，找出符号条件的元素。

int magicSlow(int arr[],int n)
{
    if(n==0)
        return -1;
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(arr[i]==i)
            return i;
    }
    return -1;
}

解法二：既然给的数组是有序的，我们理应充分利用这个条件。

你看你会发现这个问题与经典的二分查找问题非常相似。充分运用匹配法，就能找到适当的算法，我们又该怎样运用二分查找法呢？

在二分查找中，要找出元素k，我们会先拿它跟数组中间的元素x比较，确定k位于x的左边还是右边。

以此为基础，是否通过检查中间元素就能确定魔术索引的位置？

通过比较A[mid]<mid，可以确定该魔术索引一定在mid的右边，因此left=mid+1;

如果A[mid]>mid，可以取得该魔术索引一定在mid 的左边，因此right=mid-1；

算法如下：

int magicQuick(int arr[],int n)
{
    if(n==0)
        return -1;
    int mid;
    int left=0;
    int right=n-1;
    while(left<=right)
    {
        mid=(left+right)/2;
        if(mid==arr[mid])
            return mid;
        else if(mid<arr[mid])
            right=mid-1;
        else
            left=mid+1;
    }
    return -1;
}

进阶：

如果存在重复元素，前面的算法就会失效。以下面的数组为例：

-10 -5 2 2 2 3 4 7 9 12 13

  0   1  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

看到A[mid]<mid时，我们无法判定魔术索引位于数组哪一边。它可能在数组右侧，跟前面一样。或者，也可能在左侧（在本例中的确在左侧）。

它有没有可能在左侧的任意位置呢？不可能。由A[5]=3可知，A[4]不可能是魔术索引。A[4]必须等于4,其索引才能成为魔术索引，但数组是有序的，故A[4]必定小于A[5]。

事实上，看到A[5]=3时按照前面的做法，我们需要递归搜索右半部分。不过，如搜索左半部分，我们可以跳过一些元素，值递归搜索A[0]到A[3]的元素。A[3]是第一个可能成为魔术索引的元素。

 

综上：我们得到一种搜索模式，先比较midIndex和midValue是否相同。然后，若两者不同，则按如下方式递归搜索左半部分和右半部分。

左半部分：搜索索引从start到min(midIndex-1,midValue)的元素。

右半部分：搜索索引从max(midIndex+1,minValue)到end的元素。

可以看做前面的基础上求左右两边的交集，例如A[mid]<mid，需要搜索mid左边的部分元素，即区间从start到min(midIndex-1,midValue)的元素和mid右边的全部元素。

A[mid]>mid，需要搜索mid左边的全部元素和右边的部分元素，即区间从max(midIndex+1,minValue)到end，然后两者求交集，就得到上面的区间了。

算法如下：

int magicHelper(int arr[],int n,int l,int r)
{
    if(l>r||l<0||r>=n)
        return -1;
    int mid=(l+r)/2;
    if(mid==arr[mid])
        return mid;
    int rightindex=min(mid-1,arr[mid]);
    int left=magicHelper(arr,n,l,rightindex);
    if(left>=0)
        return left;
    int leftindex=max(mid+1,arr[mid]);
    int right=magicHelper(arr,n,leftindex,r);
    return right;
}
//有重复元素
int magicFast(int arr[],int n)
{
    if(n==0)
        return -1;
    return magicHelper(arr,n,0,n-1);
}

完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int magicSlow(int arr[],int n)
{
    if(n==0)
        return -1;
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(arr[i]==i)
            return i;
    }
    return -1;
}

int magicQuick(int arr[],int n)
{
    if(n==0)
        return -1;
    int mid;
    int left=0;
    int right=n-1;
    while(left<=right)
    {
        mid=(left+right)/2;
        if(mid==arr[mid])
            return mid;
        else if(mid<arr[mid])
            right=mid-1;
        else
            left=mid+1;
    }
    return -1;
}

int magicHelper(int arr[],int n,int l,int r)
{
    if(l>r||l<0||r>=n)
        return -1;
    int mid=(l+r)/2;
    if(mid==arr[mid])
        return mid;
    int rightindex=min(mid-1,arr[mid]);
    int left=magicHelper(arr,n,l,rightindex);
    if(left>=0)
        return left;
    int leftindex=max(mid+1,arr[mid]);
    int right=magicHelper(arr,n,leftindex,r);
    return right;
}
//有重复元素
int magicFast(int arr[],int n)
{
    if(n==0)
        return -1;
    return magicHelper(arr,n,0,n-1);
}

int main()
{
    int arr[10]={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,9};
    cout<<magicSlow(arr,10)<<endl;
    cout<<magicQuick(arr,10)<<endl;
    cout<<magicFast(arr,10)<<endl;
}