第九章——中位数和顺序统计量
摘要：
本章所讨论的问题是在一个由n个不同数值构成的集合中选择第i个顺序统计量问题。主要讲的内容是如何在线性时间内O(n)时间内在集合S中选择第i小的元素，最基本的是选择集合的最大值和最小值。一般情况下选择的元素是随机的，最大值和最小值是特殊情况，书中重点介绍了如何采用分治算法来实现选择第i小的元素，并借助中位数进行优化处理，保证最坏保证运行时间是线性的O(n)。
1、基本概念
顺序统计量：在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是值该集合中第i小的元素。例如最小值是第1个顺序统计量，最大值是第n个顺序统计量。
中位数：一般来说，中位数是指它所在集合的“中间元素”，当n为奇数时，中位数是唯一的，出现位置为n/2；当n为偶数时候，存在两个中位数，位置分别为n/2（上中位数）和n/2+1（下中位数）。
2、选择问题描述
输入：一个包含n个（不同的）数的集合A和一个数i，1≤i≤n。
输出：元素x∈A，它恰大于A中其他的i-1个元素。
最直接的办法就是采用一种排序算法先对集合A进行排序，然后输出第i个元素即可。可以采用前面讲到的归并排序、堆排序和快速排序，运行时间为O(nlgn)。接下来书中由浅入深的讲如何在线性时间内解决这个问题。
3、最大值和最小值
要在集合中选择最大值和最小值，可以通过两两元素比较，并记录最大值和最小值，n元素的集合需要比较n-1次，这样运行时间为O(n)。举个例子来说明，现在要求和集合A={32,12,23,67,45,78}的最大值，开始假设第一个元素最大，即max=1，然后从第二个元素开始向后比较，记录最大值的位置。执行过程如下图所示：
书中给出的求最小值的伪代码如下：
1 MINMUN(A) 2 min = A[1] 3 for i=1 to length(A) 4 do if min > A[i] 5 then min >= A[i] 6 return min
C++代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int Minimum(int arr[],int n)
{
int i;
int min=arr[0];
for(i=1;i<n;i++)
if(arr[i]<min)
min=arr[i];
return min;
}
int main()
{
int arr[10]={14,38,46,7,30,5,87,9,3,56};
cout<<Minimum(arr,10)<<endl;
}
问题：
（1）同时找出集合的最大值和最小值
方法1：按照上面讲到的方法，分别独立的找出集合的最大值和最小值，各用n-1次比较，共有2n-2次比较。
#include<iostream>
using namespace std;
void FindMaxMin(int arr[],int n)
{
int i;
int max,min;
max=min=arr[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
if(arr[i]<min)
min=arr[i];
else if(arr[i]>max)
max=arr[i];
}
cout<<"minimum: "<<min<<" maximum: "<<max<<endl;
}
int main()
{
int arr[10]={14,38,46,7,30,5,87,9,3,56};
FindMaxMin(arr,10);
}
方法2：可否将最大值和最小值结合在一起寻找呢？答案是可以的，在两两比较过程中同时记录最大值和最小值，这样最大需要3n/2次比较。现在的做法不是将每一个 输入元素与当前的最大值和最小值进行比较，而是成对的处理元素，先将一对输入元素进行比较，然后把较大者与当前最大值比较，较小者与当前最小者比较，因此每两个元素需要3次比较。初始设置最大值和最小值方法：如何n为奇数，就将最大值和最小值都设置为第一个元素的值，然后成对的处理后续的元素。如果n为偶数，那么先比较前面两个元素的值，较大的设置为最大值，较小的设置为最小值，然后成对处理后续的元素。这样做的目的保证能够成对的处理后续的元素。举个例子说明这个过程，假设现在要找出集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58}最大值和最小值，执行过程如下：
从图中可以看出方法2要比方法一要好，减少了元素之间的比较次数。现在用C语言实现方法2，程序如下：
#include<iostream>
using namespace std;
void MinMax(int arr[],int n)
{
int min,max;
int i;
min=max=arr[0];
for(i=0;i<n;i+=2)
{
if(i+1<n&&arr[i]<arr[i+1])
{
if(arr[i]<min)
min=arr[i];
if(arr[i+1]>max)
max=arr[i+1];
}
else if(i+1<n&&arr[i]>arr[i+1])
{
if(arr[i+1]<min)
min=arr[i+1];
if(arr[i]>max)
max=arr[i];
}
else if(i+1>=n)
{
if(arr[i]>max)
max=arr[i];
if(arr[i]<min)
min=arr[i];
}
}
cout<<"Minimum: "<<min<<" Maximum: "<<max<<endl;
}
int main()
{
int arr[11]={14,38,46,7,30,5,87,9,3,56,778};
MinMax(arr,11);
}
（2）如何找出找出n个元素中的第2小元素。
解答：类似与上面的同时找出最大值和最小值的方法2，变成同时找最小值和第2小元素值。先初始化最小值和第2小的值，然后成对比较后续的元素，找出较小的元素与当前最小值和第二小值进行比较，在三者中找出最小值和第二小值。
4、以期望线性时间做选择
一般的选择问题似乎要比选择最大值和最小值要难，但是这两种问题的运行时间是相同的，都是θ(n)。书中介绍了采用分治算法解决一般的选择问题，其过程与快速排序过程中划分类似。每次划分集合可以确定一个元素的最终位置，根据这个位置可以判断是否是我们要求的第i小的元素。如果不是，那么我们只关心划分产出两个子部分中的其中一个，根据i的值来判断是前一个还是后一个，然后接着对子数组进行划分，重复此过程，直到找到第i个小的元素。划分可以采用随机划分，这样能够保证期望时间是θ(n)（假设所有元素是不同的）。
给个例子说明此过程，假设现有集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58}，要求其第5小的元素，假设在划分过程中以总是以最后一个元素为主元素进行划分。执行过程如下图所示：
书中给出了返回A[p...r]中的第i小元素的伪代码：
1 RANDOMIZED_SELECT(A,p,r,i) 2 if p==r 3 then return A[p] 4 q = RANDOMIZED_PARTITION(A,p,r) 5 k = q-p+1; 6 if i==k 7 then return A[q] 8 else if i<k 9 then return RANDOMIZED_SELECT(A,p,q-1,i) 10 else 11 return RANDOMIZED_SELECT(A,p,q-1,i-k)
RANDOMIZED_SELECT通过对输入数组的递归划分来找出所求元素，该算法要保证对数组的划分是个好划分才更加高效。RANDOMIZED_SELECT的最坏情况运行时间为θ(n^2)，即使是选择最小元素也是如此。因为在每次划分过程中，导致划分后两边不对称，总好是按照剩下元素中最大的划分进行。
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<time.h>
using namespace std;
void swap(int *a,int *b)
{
int temp=*a;
*a=*b;
*b=temp;
}
int randomized_partition(int arr[],int p,int r)
{
int len,i,j,index;
len = r-p+1;
//随机获取一个主元
srand(time(NULL));
index = p + rand()%len;
//将主元交换到末尾
swap(arr+index,arr+r);
//从第一个元素开始向后查找主元的位置
i=p,j=r-1;
int key=arr[r];
while(i<=j)
{
while(i<=j&&arr[i]<=key) i++;
while(i<=j&&arr[j]>key) j--;
if(i<j)
swap(&arr[i++],&arr[j--]);
}
swap(&arr[i],&arr[r]);
return i;
}
/*int randomized_partition(int* datas,int beg,int last)
{
int len,i,j,index;
len = last-beg+1;
//随机获取一个主元
srand(time(NULL));
index = beg + rand()%len;
//将主元交换到末尾
swap(datas+index,datas+last);
//从第一个元素开始向后查找主元的位置
i=beg;
for(j=beg;j<last;j++)
{
if(datas[j] < datas[last])
{
swap(datas+i,datas+j);
i++;
}
}
//最终确定主元的位置
swap(datas+i,datas+last);
return i;
}*/
int RandomizedSelect(int arr[],int p,int r,int i)
{
int k,q;
if(p==r)
return arr[p];
//q为主元的下标
q=randomized_partition(arr,p,r);
//k为主元为第k小的元素
k=q-p+1;
if(k==i)
return arr[q];
else if(i<k)
return RandomizedSelect(arr,p,q-1,i);
else
return RandomizedSelect(arr,q+1,r,i-k);
}
int main()
{
int arr[11]={14,38,46,7,30,5,87,9,3,56,778};
cout<<RandomizedSelect(arr,0,10,5)<<endl;
}
5、最坏情况线性时间的选择
SELECT算法的思想是要保证对数组的划分是个好的划分，对PARTITION过程进行了修改。现在通过SELECT算法来确定n个元素的输入数组中的第i小的元素，具体操作步骤如下：
（1）将输入数组的n个元素划分为n/5（上取整）组，每组5个元素，且至多只有一个组有剩下的n%5个元素组成。（为何是5，而不是其他数，有点不明白。）
（2）寻找每个组织中中位数。首先对每组中的元素（至多为5个）进行插入排序，然后从排序后的序列中选择出中位数。
（3）对第2步中找出的n/5（上取整）个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x。（如果是偶数去下中位数）
（4）调用PARTITION过程，按照中位数x对输入数组进行划分。确定中位数x的位置k。
（5）如果i=k，则返回x。否则，如果i<k，则在地区间递归调用SELECT以找出第i小的元素，若干i>k，则在高区找第(i-k)个最小元素。
SELECT算法通过中位数进行划分，可以保证每次划分是对称的，这样就能保证最坏情况下运行时间为θ(n)。举个例子说明此过程，求集合A={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58,125,84}的第5小的元素，操作过程如下图所示：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int partition(int* datas,int beg,int last,int mid);
int select(int* datas,int length,int i);
void swap(int* a,int *b);
int main()
{
int datas[12]={32,23,12,67,45,78,10,39,9,58,125,84};
int i,ret;
printf("The array is: \n");
for(i=0;i<12;++i)
printf("%d ",datas[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<=12;++i)
{
ret=select(datas,12,i);
printf("The %dth least number is: %d \n",i,datas[i-1]);
}
exit(0);
}
int partition(int* datas,int beg,int last,int mid)
{
int i,j;
swap(datas+mid,datas+last);
i=beg;
for(j=beg;j<last;j++)
{
if(datas[j] < datas[last])
{
swap(datas+i,datas+j);
i++;
}
}
swap(datas+i,datas+last);
return i;
}
int select(int* datas,int length,int i)
{
int groups,pivot;
int j,k,t,q,beg,glen;
int mid;
int temp,index;
int *pmid;
if(length == 1)
return datas[length-1];
if(length % 5 == 0)
groups = length/5;
else
groups = length/5 +1;
pmid = (int*)malloc(sizeof(int)*groups);
index = 0;
for(j=0;j<groups;j++)
{
beg = j*5;
glen = beg+5;
for(t=beg+1;t<glen && t<length;t++)
{
temp = datas[t];
for(q=t-1;q>=beg && datas[q] > datas[q+1];q--)
swap(datas+q,datas+q+1);
swap(datas+q+1,&temp);
}
glen = glen < length ? glen : length;
pmid[index++] = beg+(glen-beg)/2;
}
for(t=1;t<groups;t++)
{
temp = pmid[t];
for(q=t-1;q>=0 && datas[pmid[q]] > datas[pmid[q+1]];q--)
swap(pmid+q,pmid+q+1);
swap(pmid+q+1,&temp);
}
//printf("mid indx = %d,mid value=%d\n",pmid[groups/2],datas[pmid[groups/2]]);
mid = pmid[groups/2];
pivot = partition(datas,0,length-1,mid);
//printf("pivot=%d,value=%d\n",pivot,datas[pivot]);
k = pivot+1;
if(k == i)
return datas[pivot];
else if(k < i)
return select(datas+k,length-k,i-k);
else
return select(datas,pivot,i);
}
void swap(int* a,int *b)
{
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
总结
本章中的选择算法之所以具有线性运行时间，是因为这些算法没有进行排序，线性时间的行为并不是因为对输入做假设所得到的结果。
