伸展树——自顶向下
三种旋转
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。
没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。
1、zig：
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。
2、zig-zig:
在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大；越是在路径前面移动到左树的节点，其值越小。
这很显然，右连接，将当前根以及右子树全部连接到右树，即把整课树中值大的一部分移走（大于等于当前根），
后面，在进行右连接，其值肯定小于之前的，所以，要加在右树的左边。
伸展树伪代码
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。 左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。 T ： 当前的根节点。 Function Top-Down-Splay Do If X 小于 T Then If X 等于 T 的左子结点 Then //zig 右连接 ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then //zig-zig T的左子节点绕T右旋 右连接 Else X大于 T 的左子结点 Then //zig-zag 右连接 左连接 EndIf ElseIf X大于 T Then IF X 等于 T 的右子结点 Then 左连接 ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then T的右子节点绕T左旋 左连接 Else X小于 T 的右子结点 Then 左连接 右连接 EndIf EndIf While ！(找到 X或遇到空节点) 组合左中右树 EndFunction
zig-zag这种情形，可以先按zig处理。第二次循环在进行一次处理。简化代码如下：
Function Top-Down-Splay Do If X 小于 T Then If X 小于 T 的左孩子 Then T的左子节点绕T右旋 EndIf 右连接 Else If X大于 T Then If X 大于 T 的右孩子 Then T的右子节点绕T左旋 EndIf 左连接 EndIf While !(找到 X或遇到空节点) 组合左中右树 EndFuntion
例子
下面是一个查找节点19的例子：
在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
如果查找的元素不在树中，则寻找过程中出现空的上一个节点即为根节点。
CPP代码
.h
struct SplayNode { int element; SplayNode *left; SplayNode *right; }; class SplayTree { public: SplayTree(); ~SplayTree(); void Insert(int data); void Remove(int data); SplayNode *Find(int data); private: SplayNode *_tree; SplayNode *_Insert(SplayNode *T, int item); SplayNode *_Remove(SplayNode *T, int item); SplayNode *_Splay(SplayNode *X, int Item); SplayNode *_SingleToRight(SplayNode *K2); SplayNode *_SingleToLeft(SplayNode *K2); void _MakeEmpty(SplayNode *root); };
.cpp
SplayTree::SplayTree() { _tree = NULL; } SplayTree::~SplayTree() { _MakeEmpty(_tree); } void SplayTree::Insert(int data) { _tree = _Insert(_tree, data); } void SplayTree::Remove(int data) { _tree = _Remove(_tree, data); } SplayNode *SplayTree::_SingleToRight(SplayNode *K2) { SplayNode *K1 = K2->left; K2->left = K1->right; K1->right = K2; return K1; } SplayNode *SplayTree::_SingleToLeft(SplayNode *K2) { SplayNode *K1 = K2->right; K2->right = K1->left; K1->left = K2; return K1; } SplayNode *SplayTree::_Splay(SplayNode *X, int item) { static struct SplayNode Header; SplayNode *leftTreeMax, *rightTreeMin; Header.left = Header.right = NULL; leftTreeMax = rightTreeMin = &Header; while( X != NULL && item != X->element) { if(item < X->element) { if(X->left == NULL) break; if(item < X->left->element) { X = _SingleToRight(X); } if( X->left == NULL) break; //右连接 rightTreeMin->left = X; rightTreeMin = X; X = X->left; } else { if(X->right == NULL) break; if(item > X->right->element) { X = _SingleToLeft(X); } if(X->right == NULL) break; //左连接 leftTreeMax->right = X; leftTreeMax = X; X = X->right; } } leftTreeMax->right = X->left; rightTreeMin->left = X->right; X->left = Header.right; X->right = Header.left; return X; } SplayNode *SplayTree::_Insert(SplayNode *T, int item) { static SplayNode* newNode = NULL; if(newNode == NULL) { newNode = new SplayNode; } newNode->element = item; if(T == NULL) { newNode->left = newNode->right = NULL; T = newNode; } else { T = _Splay(T, item); if(item < T->element) { newNode->left = T->left; newNode->right = T; T->left = NULL; T = newNode; } else if(T->element < item) { newNode->right = T->right; newNode->left = T; T->right = NULL; T = newNode; } else { delete newNode; } } newNode = NULL; return T; } SplayNode *SplayTree::_Remove(SplayNode *T, int item) { SplayNode *newTree; if(T != NULL) { T = _Splay(T, item); if(item == T->element) { if(T->left == NULL) { newTree = T->right; } else { newTree = T->left; newTree = _Splay(newTree, item); newTree->right = T->right; } delete T; T = newTree; } } return T; } void SplayTree::_MakeEmpty(SplayNode *T) { if(T != NULL) { _MakeEmpty(T->left); _MakeEmpty(T->right); delete T; } } SplayNode *SplayTree::Find(int data) { _tree = _Splay(_tree, data); if(_tree->element == data) return _tree; else return NULL; }
