满n二叉树结点问题

10.在一棵具有k层结点的满三叉树中，节点总数为____A_____.

A. (3^k － 1)/2   B. 3^k － 1   C. (3^k － 1)/3   D. 3^k

 

1----------------------------------------3的0次方（第一层）

2             3             4-------------------3的1次方（第二层）

5   6   7     8   9   10   11   12   13 ---------3的2次方（第三层）

.

.

.

.

M --------------------------------------3的k-1次方（第k层）

∴n=3^0 + 3^1 + 3^2 + …… + 3^(k-1) ①

∴3n=3^1 + 3^2 + 3^3 + …… + 3^k  ②

②式－①式得

 2n=3^k – 3^0

 2n =3^k – 1

  n=(3^k － 1)/2

拓展延伸：

解：设一颗具有k层的满x叉树有n个节点。

则 n=x^0 + x^1 + x^2 + …… + x^(k-1)

  xn=x^1 + x^2 + x^3 + …… + x^k

∴ xn – n = x^k – x^0

   (x-1)n= x^k – 1

       n=(x^k - 1)/(x-1)-------得出公式

将x=3带入得n=(3^k - 1)/2选A

9.将有关二叉树的概念推广到三叉树，则一颗有244个节点的完全三叉树的高度(深度k)是_____5___.

由上题可得：n=(x^k - 1)/(x-1)

(x-1)n= x^k – 1

  x^k=(x-1)n + 1

∴k=[log x (x-1)n +1]下取整 + 1

套用公式将n=244和x=3带入求得k=5