中山集训 day 1 day 3 模拟赛补题

Round 1 A

模拟即可。
赛场上的写法我自认为写的挺好的。把所有的 in 替换成 out ans 可以得到的所有串预处理出来，然后和其他原来的串判一下相等即可。

Round 1 B

很容易写错的题目。需要意识到 $d{p}_{\{\}}=x$，如果 $x$ 的值更小的话，可以考虑将本来设为 dp 状态的四元组中的某一维用来 dp，然后将原来 dp 的目标函数和状态互换，这样可以降低复杂度。

$d{p}_{m,h,p,g}$ 表示已经进行了 $m$ 个回合，（除了产品外的）三个元素分别为 $h,p,g$，产品最大值。

但是我们发现 $|p|\le {10}^4$，即 $\sum |p|\le {10}^5$，如果放在 dp 状态里会占用掉大量时空，而目标函数 $|e|\le 10$，$\sum |e|\le 100$，更适合设为状态。

所以令 $d{p}_{m,h,g,e}$ 表示已经进行了 $m$ 个回合，（除了 $p$ 外的）三个元素分别为 $h,g,e$，产品最大值（或报告无解）

然后这个东西需要用滚动数组滚动掉 $m$ 一维，就做完了。

Round 1 C

考虑这个式子的意义。假设只有两个数的话且这两个数互素的话，也就是 $ax+by=1$，这个东西显然是有解的。

因为其等价于 $axmody=1$，$a$ 是否有解。在 $x,y$ 互质的情况下一定有解。

考虑 $x,y$ 不互质怎么办，令 $l=gcd(x,y)$，则 $\frac{x}{l},\frac{y}{l}$ 互质。

也就演变成了上面那种状态，所以所有 $l$ 的倍数就可以凑出来。

总结普适性，所有 $gcd{a}_i$ 的倍数项都是可以凑出来的。

所以也就是一个区间 gcd 问题。pushup 部分可以直接维护。

Round 1 D

原来的这些站点都无意义，你对于每个线路上的每个站点都建一个点。
然后对于 $(i,u_{i,j}),(i,u_{i,j+1})$，代价是距离。

然后 $(v,(i,u_{i,j+1}))$，代价是距离是 $v$ 到 $u_{i,j+1}$ 的距离。下车则是建立 $((i,u_{i,j}),v)$，大家是 $v$ 愉悦度的相反数。

然后跑 johnson。

Round 2 A

$\sum _{i=1}^n\lfloor \sqrt{i}\rfloor$

对于 $i$,它作为 $\lfloor \sqrt{x}\rfloor$ 的区间 $x$ 满足 $i^2\le x<(i+1{)}^2$，这里一共有 $(2i+1)$ 个数。

然后 也就是说这个式子可以转化到

$$\sum _{i=1}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }i(2i+1)$$

用等差数列求和公式和平方和公式就可以了。

考虑个边界条件就可以了

Round 2 B

二分一下。也就是中位数之前的 $\frac{q-1}{2}$ 个要求最小代价，后面的也要求最小代价，问题转化成前缀后缀前 $k$ 大和问题。

然后你拿主席树维护这个东西就可以了。时间复杂度是大常数的 $O(n{\log }^{2}n)$。

但是我们的问询区间要么左端点是 $1$，要么右端点是 $n$，然后这个东西可以用权值线段树 权值树状数组之类的以更小的常熟解决。

也可以用几个 set 之间的容器关系更进一步到 $O(n\log n)$。

Round 2 D

考虑这个东西的答案随机情况下很小，所以我们每次从 $L$ 开始扫，扫到 $max-min$ 大于区间长度了就将区间长度并到 $max-min$ 上，然后做二位数点。

hack 是 $123\cdots n$，但是你可以开后门。