Tricks

• 字符串

1. 计算一个字符串 $S$ 的 border 的时间复杂度是 $O(|S|)$ 的，且与模板串无关。在更换模板串时，不需要重新计算 border。对于两个字符串集合，两两匹配的时间复杂度从 $m\sum |S|+n\sum |T|$ ，降低到了 $\sum |S|+n\sum |T|$。（2.16 A 60pts）

• 动态规划

1. 有些题目可以先考虑贪心策略，再在贪心策略的基础上 dp。例如你发现最优策略一定满足选择的是一段区间（但是不知道是哪个区间），就可以使用 dp。（2.17 B 50pts）

2. 有些图论问题，最后的答案只与其中的一些量有关（比如 距离），那你在 $O(m\log m)$ 的时间复杂度内求出 距离，这道题就和图没有关系了。

3. 有些题目由多个并列约束组成，最后的方案要满足所有约束，一般是确定一个序列，且序列的前缀要满足某些条件，一般是最优化问题。这种问题可以把约束放在坐标系的折线上，考虑折线上的转移关系。

4. 对于一些局限影响的题目，先考虑影响周期。例如一个排列有几个条件，条件本身只基于四个东西的顺序，那你实际的顺序个数只有 $4!$ 种，可以方便 dp。

5. 有一些数据范围不好用 dfs 枚举，但是也是指数级别的，考虑用状压 dp（这个过程可以用 dfs 枚举来转移）。

• 贪心

1. 如果一个决策你人类思维下是对的，而且可以过样例，就去写写试试。就比如说，有多个优先级相同的事件，ddl 不同，你肯定优先做 ddl 靠前的任务。

• 数据结构

1. 敏感发现 单调性 和 不可逆性：如果一个东西的状态 $S$ 转移到 $S^{\prime }$ 后就再也无法转移回 $S$，那可以考虑时间轴上做数据结构。（2.16 C 85pts)

2. 只跟排名有关的带修题目，可以通过树状数组维护，典型例子是逆序对。你可能需要离散化，或者将树状数组改成 map 实现（2.17 C）

3. 用数据结构维护带修哈希。

• 杂项

1. 对于若干个区间 $[l_1,r_1],[l_2,r_2],\cdots ,[l_n,r_n]$ 的交，答案是 $[\underset{i=1}{\overset{n}{max}}{l}_i,\underset{i=1}{\overset{n}{min}}{r}_i]$（如果区间不合法则无交集）（2.16 C 50pts）

2. 对于一个题目，如果出现了本应该同阶，但实际上出现了（哪怕是部分分）不同阶的情况，考虑离散化。（2.16 C 65pts）

3. 双集合题，考虑将其中某一个集合 $S$ 约束为 $|S|=1$ 后怎么做。以及，这个集合 $S$ 中的贡献关系是什么。（2.17 A）

4. 定长区间问题，可以通过增量式修改减小常数，在 bitset 硬莽题有用。

5. 枚举子串问题，尝试通过约束子串长度降低复杂度。如果只有 $len\le 10$ 的串会产生贡献，则时间复杂度就是 $O(10n)$ 级别的。（2.17 C Sub 6、7）

6. 如果你能在搜索时，将目前搜索的状态唯一的表示出来，而这个状态可以转移到另外一个状态，就相当于在 dp 里的转移关系。
   例如在 2.19 A 的 40pts 做法中：我们的 dfs 内容可以用唯一的四元组 $(n,k,t,l)$ 表示出来。分别表示 将 $n$ 分成 $k$ 份，使得最长的一段是长度为 $l$ 的方案数，目前的这一段长度是 $t$。对于一个 $(n,k,t,l)$ ，他代表的情况是唯一的。然后你枚举对于新的数 $n$，是切段另起一段还是不切。对于每种情况你有 $2$ 种选择，看似时间复杂度是指数的，但实际上因为每一个转移情况只会被算一次，所以时间复杂度是四元组 $(n,k,t,l)$ 的数量，也就是 $O(n^4)$。

然后其实，你在 $1s$ 之间内可以计算至多 $3\times {10}^8$ 次搜索，就算把结果全部记录下来也就是 1144 MB，反正你不可能全部存下来，所以写 dfs 搜索的情况下，可以全部记忆化。

然后还有一种更加不优美的，就是对于一个状态你可以对他状压，就比如说最后状压大小是 $998244353$，然后每个状态依赖的一定在这 $998244353$ 种情况里，最优化题目，哈希冲突的情况正好在最优化路径中的概率非常小。

7. 有些题目的基本变量被赋值为 $0$ 时，基本一定有简单做法（不然这个变量没啥意义）。这个 Subtask 就算被排列在比较靠后的位置，也要考虑去完成。如果人类思维无法理解这个 Sub 怎么做，可以考虑打完暴力找规律。

8. 有些题目数学意义上的答案应当是个整数（是个浮点数），但是允许给出接近的浮点数（整数）答案。这种过程是丢失精度的，说明这道题需要一些不确定做法。然后，一眼丁真的不可做题也可以当作是随机化题做。

9. 如果转移是两个 bool 数组的运算，那可以通过 bitset 使得时间复杂度降低到 $O(\frac{n}{w})$。然后，在 dfs 里面，bitset 维度数越低越好；同时，如果可以钦定一些答案必然是相同的，就可以让常数减小一些。

10. 学会读样例文件，你发现一个答案上界是 ${10}^{12}$ 的题，实际答案只有几十几百个，你就可以思考答案为什么这么小，和随机数据/弱数据的性质是否有关系。

11. 如果是关于子集的题目，而且子集之间存在贡献。那么这道题就可以理解为维护 $S$ 所有子集的子集 这样的题目，可以通过下列算法在 $O(3^n)$ （而不是 $O(4^n)$）的时间复杂度里计算。

for (int m = 0; m < (1 << n); ++m)
  for (int s = m; s; s = (s - 1) & m)

证明：对于每一位只有 $s,m$ 都有，$s$ 无 $m$ 有，$s,m$ 都无 三种情况。

12. 如果你发现满足要求的子集一定满足某一个要求，那么上文的 $O(3^n)$ 就可以转化成 $O(n\times 2^n)$。

13. 一些要求连续性的序列，随机情况下连续长度是 $lo{g}_{\mathrm{值}\mathrm{域}}$ 级别的，所以可以有一些基于连续长度的做法。