2.27 比赛

2.27 比赛

A

据说有神秘做法。

算法一 (0pts)

暴力枚举哪些点传播哪些点不传播。时间复杂度 $O(2^n\times n)$。期望得分 $0$ 分。

算法二 (22pts)

我们发现这里的图论模型，如果 $i$ 可以传播到 $j$，则我们认为存在一条 $i\to j$ 的单向边。问题转化为 标记最少/最多个点，使得每个点有且仅有一个标记点可以走向它。

显然，最多个点的答案是 SCC 的个数。

所以我们可以暴力建边 tarjan 求解。考虑到 $x_i$ 两两不同，所以从点 $i$ 连出去的边至多有 $min\{n,2d_i\}$ 条。所以在 $n\le 1000$ 和特殊性质 B 下可以得分。时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$

$55\times 0.4=22pts$

算法三（40pts）

上面那个东西你写的优美一点就可以得到 $100\times 0.4=40pts$，因为数据比较弱。

算法四（55pts)

考虑第一问怎么做。手玩样例和小数据后发现：没有入度的强连通分量个数。

暴力建边，维护每一个 SCC 所含的点，这很好做。时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。细节比较多。经过一些剪枝，优秀的写法可以得到 $70pts$ 左右。

算法五（100pts）

考虑你在图上建边一定是一段区间，这符合线段树建图的特征。把上述过程用线段树建图优化即可。

线段树优化建图

线段树优化建图就是利用两棵线段树，减少连边数量，达到降低复杂度的目的。

考虑如下题目：

有n个点，q个询问，每次询问给出一个操作。

操作 $1$：1 u v w，从 $u$ 向 $v$ 连一条权值为w的有向边

操作 $2$：2 u l r w，从 $u$ 向区间 $[l,r]$ 的所有点连一条权值为w的有向边

操作 $3$：3 u l r w，从区间 $[l,r]$ 的所有点连一条权值为w的有向边

首先，我们发现难点在连边，因为连完边后跑一遍最短路就好了。

我们考虑用两棵线段树来搞，建两棵线段树，一棵处理入边，一棵处理出边。

方便起见，我们下文称其为入树和出树。

开始我们让父亲和儿子连边，然后我们再让入树和出树的叶子节点之间连上边权为 $0$ 的边。

据说很难写。

B

这数据/qd

好像是 pjudge 前几天原题 /jy。

算法一

考虑朴素 dp，即 $d{p}_i$ 表示前 $i$ 个的答案。

易得转移式，$d{p}_i=\underset{i-1}{\overset{j=i-k+1}{min}}d{p}_i+\text{mex}(j,i)\times \text{sum}(j,i)$

前者我们增量式修改动态维护一个 vis 数组即可，均摊下来复杂度对于一个 $i$ 必然是 $\mathcal{O}(n)$ 级别的。

后者可以用前缀和在预处理 $\mathcal{O}(n)$，查询 $\mathcal{O}(1)$ 的时间复杂度得到。

所以这个 dp 就很好写了。时间复杂度 $\mathcal{O}(n(n+k))$ ，考虑到 $n$ 比较大，所以可能可以考虑用 bitset 代替 bool 数组在常数上获得少量优化。期望得分 30 pts。然后如果你用 bitset 的话，出题人的数据造的及其不优秀，实际上可以获得 60pts，因为这样的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n(\frac{n}{w}+k))$ 的，实际上挺小。

算法二

考虑值域小怎么做，我们把上面的式子转化一下，也就是 $d{p}_i=d{p}_j+\text{mex}(i,j)\times s_i-\text{mex}(i,j)\times s_j$。

然后我们枚举 mex 相同的段，也就是区间查询 $f_j-s_j\times k$ 的最小值。这个东西可以用线段树维护，但是因为 $k$ 不等，所以需要开 $max{a}_i$ 棵线段树。

时间复杂度 $\mathcal{O}(An\log n)$ 的如果你真的只做了 $A\le 10$，显然太唐了。考虑做 $A\le 50$ 的情况，在随机数据下 mex 的确不会查过 50，所以在比赛初期过了，现在好像被卡到 75 了/ll。

算法三

如果我们遍历所有本质不同的段（或者不同的 mex），时间复杂度都会退化到 $\mathcal{O}(n^2)$，我们考虑接下来怎么做。

注意到在上面的做法中，每个段的查询和 $i$ 完全无关，因此对于整段，我们可以先算出对应 $\text{mex}$ 的 $f_j-s_j\times k$ 的最大值 。

那么查询相当于求区间 $s_i\times \text{mex}+v$ 的最大值，同样可以用线段树套李超线段树维护。不是整段的部分最多只有一段，按照刚才的做法查询就行了。总时间复杂度是 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n)$，挺难写。