扩展欧几里得算法模板

对于整数a,b,x,y,c

有a*x+b*y=c,如果c不是a与b的最大公约数的倍数，那么此方程无解

证明：设gcd(a,b)=d，即最大公约数，那么a*x%d=0，b*y%d=0

则(a*x+b*y)%d=0,说明c是一个d的倍数，相反的，如果c不是d的倍数，那么次方程无解

对于欧几里得算法 int extend_eulid(int a,int b,int &x,int &y)

返回值是a,b的最大公约数，求解的x和y满足a*x+b*y=d的一个解

那么如何求a*x+b*y=c的解呢？假设x0,y0,是通过欧几里得算出来的一个解，即a*x0+b*y0=d，因为c%d=0

因此：a*x0*(c/d)+b*y0*(c/d)=d*(c/d)转化为  a*(x0*(c/d))+b*(y0*(c/d))=c

所以算出a*x+b*y=c的解  x=x0*(c/d)， y=y0*(c/d)。

令r=fabs(b/d);//保证为正数

minx = (x%r+r)%r为最小非负解(这一点没想明白)

 

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=d

a*x+b*y=d,b*x0+(a%b)y0=d

所以a*x+b*y=b*x0+(a%b)y0

　　　　=b*x0+(a-a/b*b)y0

　　　　=a*y0+b*(x0-a/b*y0)

因此x=y0, y = x0 – a / b * y0;

由此可得到递归程序：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int extend_euclid(int a,int b,int &x,int &y)
{
    //b等于0时递归结束，得到该步的解，通过该解返回到上一步的出上一步的解
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d = extend_euclid(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;//a,b的最大公约数
}
int main()
{
    int x,y;
    printf("%d\n",extend_euclid(9,15,x,y));
    printf("%d% d\n",x,y);
    return 0;
}