2021寒假集训——数论初步
1.28 数论初步
讲师:姚嘉宸(i207m)
质数
1.整除、质数(素数)、合数的定义。注:1既不是质数也不是合数
2.唯一分解定理&标准分解式
3.素数计数函数:小于或等于x的素数个数,称为π(x),随着x增大,有:
4.质数判定:2~\(\sqrt{n}\)
5.miller-rabin 素性测试
6.费马小定理:(不要求互素)
若a是一个整数,p是一个质数,则有
\[a^p\equiv a\space (mod\space p) \]
及证明(听不懂)
7.fermat素性测试
费马小定理逆定理不成立,使其不成立的数叫作卡迈克尔数,并且满足\(m=2^n - 1\)
8.二次探测定理
如果p是奇素数,则 \(x^2\equiv 1\space (mod\space p)\)的解为\(x=1\)或\(x=p-1\)
于是对于\(x=1\)的情况,可以“二次探测”。
*pollard-rho(生日悖论)
扩展欧几里得算法
1.欧几里得算法求gcd是log的。
2.扩展欧几里得算法(exgcd)常用于求\(ax+by=gcd(a,b)\)
内容:\((a,b)=(b,a\%b)=d\)
\(\space \space \space 当b=0时,(a,0)=a,即\left\{\begin{aligned}x=1\\y=0\end{aligned}\right.\)
\(\space \space \space 当b\neq0时,由欧几里得定理可知 by+(a\space mod \space b)x=d\)
\(\space \space \space 由a \space mod\space b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor\cdot b得\)
\(\space \space \space ax+b(y-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdot x)=d\)
\(\space \space \space 即x=x,y=y-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \cdot x\)
递归即可
模板:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){x=1,y=0;return a;}
else{
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return d;
}
}
剩余系求逆元
对于某个a,是否存在b,使得\(ab=1 \space(mod\space m)\)
首先考虑逆元的存在性和唯一性
存在性:当且仅当\((a,m)=1\)时有逆元。
证明:考虑\(ax+my=1\)的解
唯一性:逆元若存在,一定唯一。
证明:假设\(ab=ac=1(mod\space m)\),则\(b=bac=(ba)c=c(mod\space m)\)
求逆元の5种写法
1.费马小定理
注:要求p为质数
2.exgcd
求\(ax+my=1\)的解
3.线性求逆元
直接放图
4.线性求逆元2 (求多个)
5.线性筛
中国剩余定理(CRT)
其中\({a_i}\)互质,求\(x\)
有无数组解。
在\(lcm(a_i)\)的剩余系下,有唯一解:
其中,$$M_i= \prod_{j \ne i}a_j$$,\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)在(mod \(a_i\))下的逆元。
扩展中国剩余定理(EXCRT)
不互质的情况
式子两两合并
欧拉函数
即\(\phi(n)\),小于等于n的与n互质的个数
1.欧拉函数是积性函数(证明听不懂)
2.特别地,当n是奇数时,\(\phi(2n)=\phi(n)\)
3.\(n=\sum_{d|n}\phi(d)\)
4.\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)
5.设\(n=\prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}\),其中\(p_i\)是质数,则\(\phi(n)=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\)
欧拉定理
内容:若gcd(a,m)=1,则\(a^{\phi(m)}\equiv 1(mod\space m)\)
扩展欧拉定理
内容:
注:扩展欧拉定理只能在指数比\(\phi(p)\)大时才能用!
筛法
Eratosthenes筛法
洲阁筛、Min_25筛
线性筛
线性筛φ
线性筛μ
线性筛\(\sigma_0\)
\(\sigma_0(n)\)表示\(n\)的因数个数。
设\(n=p_1^{k_1}…p_t^{k_t}\),则\(\sigma_0(n)=\prod(k_i+1)\)
莫比乌斯反演
前置知识
引理1:
引理2:
数论分块
设\(k=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\), 当\(\lfloor\frac{n}{j}\rfloor=k\)时,j的最大值为\(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\)
积性函数
eg:单位函数 恒等函数 常数函数 除数函数 欧拉函数 莫比乌斯函数
莫比乌斯函数
其中\(\omega(n)\)表示n的本质不同质因子个数,也是积性函数
Dirichlet卷积
定义两个数论函数\(f,g\)的Dirichlet卷积为
有交换律、结合律、分配律
eg:
莫比乌斯反演
设\(f(n),g(n)\)为两个数论函数。
如果有\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\),那么有\(g(n)=\sum _{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})\)。
如果有\(f(n)=\sum_{n|d}g(d)\),那么有\(g(n)=\sum _{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)\)。
证明不会