图论相关

• 二分图最大匹配，最小点覆盖与最大独立集

二分图最大匹配 \(=\) 最小点覆盖，最大独立集 \(=\) 总点数 \(-\) 最小点覆盖。

• 二分图匹配可行边，必经边，可行点与必经点

先对原图跑最大匹配，在残量网络上跑 tarjan 求强连通分量。

可行边：该边为原图上的匹配边或两点属于相同的强连通分量。

必经边：该边为原图上的匹配边且两点属于不同的强连通分量。

可行点：所有可行边的所有端点。

必经点：统计非必经点，从 \(S\) 走流量为 \(1\) 的边走到的左部点与从 \(T\) 走流量为 \(0\) 的边走到的右部点为非必经点。

• Hall 定理

定义二分图的完美匹配为匹配数量 \(=\) 左部点数量。

一张二分图存在完美匹配的充要条件为：对于左部点的任意一个子集，其连到的右部点数量都 \(\ge\) 这个子集的大小。