树上差分

前置芝士：here

树上差分：

典型问题描述：给定一棵有N个点的树，所有节点的权值初始时都为0。 有K次操作，每次指定两个点u , v，将 u 到 v 路径上所有点的权值都+1。 请输出K次操作完毕后权值最大的那个点的权值。

朴素思路：不用多想，最暴力的做法就是我们找到 u 到 v 路径上的所有点并+1（可以利用lca）。最后再遍历所有点查找权值最大的点并输出。这样时间复杂度为O（KN），这还不包括 lca 查找路径的时间。

求u到v的路径：求那么我们知道，如果假设我们要考虑的是从u到v的路径，u 与 v 的 lca 是 a ，那么很明显，如果路径中有一点 u′ 已经被访问了，且 u′ ≠ a ，那么 u' 的父亲也一定会被访问。所以，我们可以将路径拆分成两条链，u -> a 和 a -> v。

关于边的差分：

将边拆成两条链之后，我们便可以像差分一样来找到路径了。用 cf[ i ] 代表从 i 到 i 的父亲这一条路径经过的次数。因为关于边的差分，a 是不在其中的，所以考虑链 u -> a，则就要使cf[ u ]++，cf[ a ]−−。然后链a -> v，也是cf[ v ]++，cf[ a ]−−。（对应着一维差分的应用会比较好理解）所以合起来便是cf[ u ]++，cf[ v ]++，cf[ a ]−=2。然后，从根节点，对于每一个节点x，都有如下的步骤：

• 枚举x的所有子节点u
• dfs所有子节点u
• cf[ x ] + = cf[ u ]

　　那么，为什么能够保证这样所有的边都能够遍历到呢？因为我们刚刚已经说了，如果路径中有一点u′已经被访问了，且u′≠a，那么u′的父亲也一定会被访问。所以u′被访问几次，它的父亲也就因为u′被访问了几次。所以就能够找出所有被访问的边与访问的次数了。路径求交等一系列问题就是通过这个来解决的。因为每个点都只会遍历一次，所以其时间复杂度为Θ(n).

关于点的差分：

还是与和边的差分一样，对于所要求的路径，拆分成两条链。步骤也和上面一样，但是也有一些不同，因为关于点，u与v的lca是需要包括进去的，所以要把lca包括在某一条链中，用cf[ i ] 表示 i 被访问的次数。最后对 cf 数组的操作便是cf[ u ]++，cf[v]++，cf[ a ]−−，cf[ father[a] ]−−。其时间复杂度也是一样的Θ(n).

以上参考：here

 

点差分模板：题目链接：P3128 [USACO15DEC]Max Flow P

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5+10;

int N,K;
vector<int>v[maxn];
int d[maxn],fa[maxn][21],tot,dfn[maxn],val[maxn];

void dfs(int x,int _fa){
    fa[x][0] = _fa;
    d[x] = d[ fa[x][0] ] + 1;
    dfn[ ++tot ] = x;
    for(int i=1;i<=20;i++)
        fa[x][i] = fa[ fa[x][i-1] ][i-1];
    for(size_t i=0;i<v[x].size();i++){
        int to = v[x][i];
        if( to==_fa ) continue;
        dfs(to,x);
    }
}

int LCA(int x,int y){
    if( d[x]<d[y] ) swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if( d[fa[x][i]]>=d[y] )
            x = fa[x][i];
    }
    if(x==y) return x;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if( fa[x][i]!=fa[y][i] ){
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
    }
    return fa[x][0];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&K);
    for(int i=1;i<N;i++){
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=K;i++){
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        val[x]++;
        val[y]++;
        int lca = LCA(x,y);
        val[lca]--;
        val[ fa[lca][0] ]--;
    }

    int ans=0;
    for(int i=N;i>=1;i--){
        val[ fa[dfn[i]][0] ] += val[dfn[i]];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        ans = max(ans,val[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}