Mr. Panda and Kakin （RSA 解密+解同余方程+O(1)快速乘）

Mr. Panda and Kakin

题意：给了两个数\(n，c\)，\(n=p*q\)，\(p\)和\(q\)是一个未知的数\(x\)前后的两个质数，\(c = f^{2^{30}+3}\ mod\ n\)。让求\(f\)的值。

题解：参考大佬博客

我们先来了解一下\(RSA解密\)

再回头来看这个式子\(c = f^{2^{30}+3}\ mod\ n\)，让求\(f\)是不是就是给了原来的数字，让求密文？

对应着上面的，我们就有设\(e = 2^{30}+3\)，那么\(c = f^{e}\ mod\ n\)，\(f = c^{d}modn\)，到这儿我们就发现了，我们不知道\(d\)是什么；

根据上面\(RSA\)加密的描述可以知道\(\left ( d*e\right ) mod \left [ \left ( p-1\right )\left ( q-1\right )\right ]\equiv 1\)

设\(r = \left ( p-1\right )\left ( q-1\right )\)，就是\(\left ( d*e\right )mod r \equiv 1\)

求解方程 \(a*x\equiv b\left ( mod n\right )x未知\) 相当于求解方程 \(ax+ny=b，所以这里我们相当于求解方程ex+ry=1\)，解线性同余方程即可得出\(d\)。

问题又来了\(r\)我们不知道是啥......

看上面我们设的\(r = \left ( p-1\right )\left ( q-1\right )\)，那么求\(r\)的问题变成了求\(p，q\)的问题，\(n=p*q\)，\(n\)题目已经给了，我们可以在\(sqrt\left ( n\right )\)附近找\(p，q\)

综上所述，我们先求出\(p，q\)，再求出\(d\)，最后求出\(f\)

 AC_Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
#define endl '\n'
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e5+10;
const ll maxm=1073741827;


ll n,c;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if( b==0 ){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

ll qpow(ll a,ll b,ll mod){
    ll res=1;
    while( b ){
        if( b&1 ) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

ll mul(ll a,ll b,ll c){
    return (a*b-(ll)((ld)a*b/c)*c+c)%c;
}

ll pw(ll x, ll n, ll mod) {
    ll ret = 1;
    while(n) {
        if(n&1) ret = mul(ret,x,mod);
        x = mul(x,x,mod);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    int T,cas=0; scanf("%d",&T);
    while( T-- ){
        scanf("%lld%lld",&n,&c);

        ll p=sqrt(n);
        while( n%p!=0 ) p--;
        ll q=n/p;
        ll r=(p-1)*(q-1);

        ll a,b,x,y;
        a=(1<<30)+3;
        b=r;
        exgcd(a,b,x,y);
        x = ((x%b)+b)%b;    //保证是整数
//        ll f=qpow(c,x,n);   //错,因为c,n都太大了这样直接快速幂的话中间会有溢出
        ll f=pw(c,x,n);     //要用这个O(1)的快速乘
        printf("Case %d: %lld\n",++cas,f);
    }
    return 0;
}