最小顶点覆盖，最大独立集，最小边覆盖

点覆盖的概念定义：

对于图G=(V,E)中的一个点覆盖是一个集合S⊆V使得每一条边至少有一个端点在S中。

最小点覆盖：

实质是个点集，点集里面的点能覆盖所有的边，最小点覆盖就是满足这个要求的点集中点数最小的那个

最小边覆盖：

实质是个边集，这个集合里的边能覆盖所有的点，最小边覆盖是满足这个要求的所有边集中边数最少的一个

这里顶点数等于总的顶点数，是二分图两边的顶点数，不是一边

 二分图中最小点覆盖等于最大匹配数:

证明：所有的边分为匹配的（A）边和不是匹配的边（B），最小点覆盖的点集就是要每条匹配的边两端顶点中的一个，

比如现在有x1-y1属于A，x1-y2属于B，对于x1-y1这条匹配边取x1而不取y1，这样就能覆盖到x1-y2，即B也能覆盖到。

二分图中最小边覆盖=顶点数-最小点覆盖（最大匹配）：

证明：设最大匹配数为m，总顶点数为n。为了使边数最少，又因为一条边最多能干掉两个点，所以尽量用边干掉两个点

也就是取有匹配的那些边，当然这些边是越多越好，那就是最大匹配了，所以先用最大匹配数目的边干掉大多数点

剩下的解决没有被匹配的点，就只能一条边干掉一个点了，设这些数目为a

显然，2m+a=n，而最小边覆盖=m+a，

所以最小边覆盖=（2m+a）-m=n-m

二分图中最大独立集=点数-最大匹配数

二分图的最大独立集是：一个最大的点的集合，该集合内的任意两点没有边相连。

二分图最大团的定义是：一个最大的点的集合，该集合内的任意两点都有边相连。

从定义可以看出"二分图的最大独立集"和"二分图补图的最大团"是一样的。

 

来自大佬博客：here

最小点覆盖+最大独立集(无向图）模板题目：here1，here2

AC模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
const int maxn = 1005;

vector<int>G[maxn];
bool vis[maxn];
int n,m,match[maxn];

bool dfs(int x){
    int len=G[x].size();
    for(int i=0;i<len;i++){
        int nxt=G[x][i];
        if(!vis[nxt] ){
            vis[nxt]=true;
            if( !match[nxt] || dfs(match[nxt])){
                match[nxt]=x;
                match[x]=nxt;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        if( !match[i] && dfs(i)) ans++;
    }
    printf("%d\n%d\n",ans,n-ans);
    return 0;
}

 最小边覆盖（有向图）AC模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
const int maxn = 1005;

vector<int>G[maxn];
bool vis[maxn];
int n,m,match[maxn];

bool dfs(int x){
    int len=G[x].size();
    for(int i=0;i<len;i++){
        int nxt=G[x][i];
        if(!vis[nxt] ){
            vis[nxt]=true;
            if( !match[nxt] || dfs(match[nxt])){
                match[nxt]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        if( dfs(i)) ans++;
    }
    printf("%d\n",n-ans);
    return 0;
}