线性基入门

线性基是向量空间的一组基，通常可以解决有关异或的一些题目。

异或的重要性质:

• \(如果\ a\ xor \ b \ xor \ c = 0，那么a \ xor \ b = c；\)
• \(如果\ a \ xor \ b = c，那么\ a \ xor \ c = b;\)

线性基的重要性质：

• 原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到
• 线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到 0
• 线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质一的前提下，数的个数是最少的。注意：线性基不唯一，只是元素数量唯一而已
• 线性基二进制最高位互不相同

构造线性基模板：

void L_B(ll x){
    for(int i=62;i>=0;i--){
        if(!(x>>(ll)i)) continue;
        if( !p[i] ){
            p[i]=x;
            break;
        }
        x^=p[i];
    }
}

 判断能否异或出一个数\(x\):

bool check(int x){
    for(int i=62;i>=0;i--){
        if( !(x>>(ll)i) ) continue;
        if( !p[i] ) return false;
        x^=p[i];
    }
    if( x==0 ) return true;
    return false;
}

求最大值：（在原序列中，取若干个数，使得它们的异或和最大）

ll t_max()
{
    ll ans=0;
    for(int i=62;i>=0;i--)    //记得从线性基的最高位开始
    if((ans^d[i])>anss)ans^=d[i];
    return ans;
 }   

 

求最小值：（两种情况）

1. 用线性基内的元素能异或出的最小值：就是线性基里最小的那个数了，因为最小的无论异或上谁都要变大
2. 整个序列能异或出的最小值：看一看有没有元素不可以插入进线性基中，如果有，最小值就是0，否则就是线性基中最小的那个数

求第k小的值：（从原序列中取若干元素进行异或，求出能异或出的所有数字中第k小的那个）

根据性质4,我们将线性基改造成每一位相互独立。具体地，\(如果j< i,p_{i}的第j位是1,我们就将p_{i}异或上p_{j}\)，经过一系列的操作，对于二进制的某一位\(i\)，\(只有p_{i}的这一位是1,其他的都是0\)。查询的时候就将\(k\)二进制拆分，对于是1的位，就异或上对应的线性基。最终得出的答案就是第\(k\)小值。

例题：xor

AC_Code:\(求第k小的核心代码：rebuild+k_th\)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll d[65],p[65];
int cnt;
void init(){
    memset(d,0,sizeof(d));
    memset(p,0,sizeof(p));
    cnt=0;
}

void L_B(ll val){
    for(int i=62;i>=0;i--){
        if (!(val>>(ll)i) ) continue;
        if( !d[i] ){
            d[i]=val;
            break;
        }
        val^=d[i];
    }
}

void rebuild(){
    for (int i=62;i>=0;i--)//重构
        for (int j=i-1;j>=0;j--)
            if (d[i]&(1ll<<j))
                d[i]^=d[j];

        for(int i=0;i<=62;i++)//转存
            if (d[i])
                p[cnt++]=d[i];
}

ll k_th(ll k){
    ll ret=0;
    if (k>=(1ll<<cnt)) return -1;
    for (int i=62;i>=0;i--)
        if (k&(1ll<<i))
            ret^=p[i];
    return ret;
}

int main()
{
    int T,n,q;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++){
        init();
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++){
            ll k;
            scanf("%lld",&k);
            L_B(k);
        }
        scanf("%d",&q);
        printf("Case #%d:\n",cas);
        rebuild();
        while(q--){
            ll k;
            scanf("%lld",&k);
            if(n!=cnt) k--;
            ll ans=k_th(k);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}