树的重心入门

  • 树的重心：对于一棵\(n\)个结点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该点为根的有根树树时，最大子树的结点数最小。 删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。
  • 性质：
    • 性质 1 ：树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个重心，他们的距离和一样。
    • 性质 2 ：把两棵树通过某一点相连得到一颗新的树，新的树的重心必然在连接原来两棵树重心的路径上。
    • 性质 3 ：一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
    • 性质 4：一棵树最多有两个重心，且相邻。
  • 模板详解：核心\(dfs\)代码
  •  1 ll minl=inf,ans;
 2 /*
 3 sz数组表示以当前节点为根,向下的子树的节点数目
 4 dp数组表示以当前节点为根,子树中最大节点数目是多少
 5 */
 6 
 7 void dfs(int u,int fa){
 8     sz[u]=1;
 9     for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
10         int v=edge[i].to;
11         if( v!=fa ){//无向图,不加这个会成环
12             dfs(v,u);
13             sz[u]+=sz[v];//回溯加一下
14             dp[u]=max(dp[u],sz[v]);//每次遍历完一棵子树都比较
15         }
16     }
17     
18     dp[u]=max(dp[u],n-sz[u]);//不要忽略向上的节点个数,比较完之后便是当前节点的最大子树节点
19     if( minl>dp[u]){
20         minl=dp[u];
21         ans=u;
22     }
23 }

     

  • 入门例题：here
    • 题意：求删除这个点后最大子树的节点数，以及这个点的编号，如果有多个点满足，求编号最小的点。
    • AC_Code:
    •  1 #include <iostream>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdio.h>
 4 
 5 using namespace std;
 6 const int maxn = 20005;
 7 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 8 
 9 int head[maxn];
10 int sz[maxn];
11 int cnt,n;
12 int ans,siz;
13 
14 struct Edge{
15     int to;
16     int nxt;
17 };
18 
19 Edge edge[2*maxn];
20 
21 void Init(){
22     cnt=0;
23     siz=inf;
24     memset(head,-1,sizeof(head));
25 }
26 
27 void add(int u,int v){
28     edge[cnt].to = v;
29     edge[cnt].nxt = head[u];
30     head[u] = cnt++;
31 }
32 
33 void dfs(int u,int fa)
34 {
35     sz[u]=1;
36     int tmp=0;
37     for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
38         int v=edge[i].to;
39         if(v!=fa){
40             dfs(v,u);
41             sz[u]+=sz[v];
42             tmp=max(tmp,sz[v]);
43         }
44     }
45     tmp=max(tmp,n-sz[u]);
46     if(tmp<siz || (tmp==siz && u<ans)){
47         ans=u;
48         siz=tmp;
49     }
50 }
51 
52 int main()
53 {
54     int t;
55     scanf("%d",&t);
56     while(t--){
57         Init();
58         scanf("%d",&n);
59         for(int i=1;i<=n-1;i++){
60             int u,v;
61             scanf("%d%d",&u,&v);
62             add(u,v);add(v,u);
63         }
64         dfs(1,0);
65         printf("%d %d\n",ans,siz);
66     }
67     return 0;
68 }

       

posted @ 2020-07-13 13:33  swsyya  阅读(183)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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