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Symmetric Matrix

Symmetric Matrix

 

 

 

 题意:构造满足上述4个条件的矩阵,问能构造多少个

分析:可以把这个矩阵看做是无向图的邻接矩阵,那么我们就可以把问题转化为求无向图中所有点的度数都为2的图有多少个。我们考虑f\left [ n\right ]表示n个结点的图满足条件的数量。

我们考虑图中的最后一个点所在的环中有多少个结点:

1.当最后一个环只有两个结点的时候:(为什么不合并为第二种情况呢,因为当一个环只有两个点时,除以2就不对了)

C_{n-1}^{1}\ast f\left ( n-2\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )

表示从除最后一个点以外的n-1个点中选出1个点与最后一个点形成环,前n-2个点形成满足条件的图的总情况有多少

 

2.考虑最后一个点所在的环有n-k个结点的情况,其中\left ( 2\leq k且\left ( n-k\right )> 2\right )即\left ( 2\leq k\leq n-3\right )

我们可以先从前n-1个结点中选出k个结点形成满足条件的图,那么剩下的n-k-1个结点就有(n-k-1)!种形成链的方式(因为每个点的度为2,且这n-k-1个结点要与最后一个点形成环,所以n-k-1个结点只会形成链),然后我们再加入最后一个结点与这条链的首尾相连形成环,由于首尾的顺序与形成的环的方式是无关的,所以这里要除以一个2将重复的情况去除(比如1,2,3三个结点的全排列中就有1,2,33,2,1两种,由于它是无向图,所以在加入最后一个结点4之后形成的环都是1-2-3-4-1,就有一种情况重复计算了)

 

所以:公式为:

C_{n-1}^{k}\ast f\left ( k\right )\ast \frac{\left ( n-k-1\right )!}{2}

 

最后:

f\left ( n\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )+\sum_{k=2}^{n-3}C_{n-1}^{k}\ast f\left ( k\right )\ast \frac{\left ( n-k-1\right )!}{2}

f\left ( n\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )+\sum_{k=2}^{n-3}\frac{\left ( n-1\right )!}{k!\ast \left ( n-k-1\right )!}\ast f\left ( k\right )\ast \frac{\left ( n-k-1\right )!}{2}

1.f\left ( n\right )=\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-2\right )+\sum_{k=2}^{n-3}\frac{\left ( n-1\right )!}{k!}\ast \frac{f\left ( k\right )}{2},那么有

2.\left ( n-1\right )\ast f\left ( n-1\right )=\left ( n-1\right )\ast \left ( n-2\right )\ast f\left ( n-3\right )+\left ( n-1\right )\ast \sum_{k=2}^{n-4}\frac{\left ( n-2\right )!}{k}\ast \frac{f\left ( k\right )}{2}

1式-2式得:

f\left ( n-1\right )\ast \left ( f\left ( n-1\right)+f\left ( n-2\right )\right )-\left ( n-1\right )*\left ( n-2\right )\ast f\left ( n-3\right )/2

AC_Code:

复制代码
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn = 1e5+10;
 5 #define rep(i,first,second) for(int i=first;i<=second;i++)
 6 #define dep(i,first,second) for(int i=first;i>=second;i--)
 7 
 8 int n,m;
 9 ll f[maxn];
10 int main()
11 {
12     while( ~scanf("%d%d",&n,&m)){
13         if( m==1 ){
14             printf("0\n");
15             continue;
16         }
17         f[1]=0;
18         f[2]=f[3]=1;
19         rep(i,4,n){
20             f[i]=((i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%m-((ll)(i-1)*(i-2)/2*f[i-3])%m + m)%m;
21         }
22         printf("%lld\n",f[n]);
23     }
24     return 0;
25 }
复制代码

参考博客:here

 

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