Water Testing 匹克定理

 

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1.匹克定理：\(2*S=2*n+m-2\):\(n\)表示多边形内部的整点数,m表示多边形边界上的整点数,S表示多边形的面积

2.已知顶点求多边形面积公式:\(S=0.5*abs\left ( x_{1}\ast y_{2}-y_{1}\ast x_{2}\ +\ x_{2}\ast y_{3}-y_{2}\ast x_{3}+\cdots \ +\ x_{n}\ast y_{1}-y_{n}\ast x_{1}\right )\)

3.已知方向向量为\(\left ( x,y\right )\),求在线段上的点的个数: \(b=gcd\left ( abs(x),abs\left ( y\right )\right )\) (如果\(\left ( x_{1},y_{1}\right )\)只是一个顶点而不是向量,就要先求出边的向量才能用这个公式)

//n=0.5*(2*S+2-m)=S+1-0.5*m
#include <bits/stdc++.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
#define rep(i,first,second) for(ll i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(ll i=first;i>=second;i--)

int n;
struct node{ ll x,y;}p[maxn];
ll b,s;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    rep(i,0,n-1){
        cin>>p[i].x>>p[i].y;
        if( i ){
            s+=__gcd(abs(p[i].x-p[i-1].x),abs(p[i].y-p[i-1].y));
            b+=(p[i-1].x*p[i].y - p[i].x*p[i-1].y);
        }
    }
    s+=__gcd(abs(p[0].x-p[n-1].x),abs(p[0].y-p[n-1].y));
    b+=(p[n-1].x*p[0].y-p[0].x*p[n-1].y);
    double S=0.5*fabs(b);
    S=S+1-s*0.5;
    cout<<(ll)S<<endl;
    return 0;
}

注意：

//Compilation error
//匹克定理：2*S=2*n+m-2:n表示多边形内部的整点数,m表示多边形边界上的整点数,S表示多边形的面积
//已知顶点求多边形面积公式:S=0.5*abs(x1*y2-y1*x2 + x2*y3-y2*x3 +...+ xn*y1-yn*x1)
//已知方向向量为(x,y),求在线段上的点的个数: b=gcd(fabs(x),fabs(y))(如果(x1,y1)只是一个顶点而不是向量,就要先求出边的向量才能用这个公式)

//n=0.5*(2*S+2-m)=S+1-0.5*m

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
#define rep(i,first,second) for(ll i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(ll i=first;i>=second;i--)

int n;
struct node{ double x,y;}p[maxn];
double b,s;
ll gcd(ll a,ll b){
    if( b==0 ) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    rep(i,0,n-1){
        cin>>p[i].x>>p[i].y;
        if( i ){
            s+=gcd(fabs(p[i].x-p[i-1].x),fabs(p[i].y-p[i-1].y));//gcd不可以有double,即是函数强制转换成了ll
            b+=(p[i-1].x*p[i].y - p[i].x*p[i-1].y);
        }
    }
    s+=gcd(fabs(p[0].x-p[n-1].x),fabs(p[0].y-p[n-1].y));
    b+=(p[n-1].x*p[0].y-p[0].x*p[n-1].y);
    double S=0.5*fabs(b);
    S=S+1-s*0.5;
    cout<<(ll)S<<endl;
    return 0;
}