P2522 [HAOI2011]Problem b

P2522 [HAOI2011]Problem b（我的第一道莫比乌斯反演）

 

 题解：

根据题意写出函数表达式：

\(f\left ( k\right )=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\left [ gcd\left ( i,j\right)=k\right ]\)　　表示\(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m\) ， \(gcd\left ( i,j\right)=k\)成立的\(\left ( i,j\right )\)对数

令\(F\left ( x\right )=\sum_{x|d}f\left ( d\right )\)，代表 \(gcd=d且是x的倍数的\left ( i,j\right )对数\)；

我们知道\(x|gcd\left ( i,j\right)=\left ( x|i\right )\wedge \left ( x|j\right )\)，又因为\(1\sim n之间整除x的数有\left \lfloor \frac{n}{x}\right \rfloor个\)，\(1\sim m之间整除x的数有\left \lfloor \frac{m}{x}\right \rfloor个\)

所以\(F\left ( x\right )=\left \lfloor \frac{n}{x}\right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{x}\right \rfloor\)

于是：\((F\left ( x\right )=\sum_{x|d}^{d}=\left \lfloor \frac{n}{x}\right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{x}\right \rfloor\)

根据第二种莫比乌斯反演：则\(f\left ( x\right )=\sum_{x|d}\mu \left ( \frac{d}{x}\right )F\left ( d\right )\)

带入\(F\left ( d\right )=\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor\cdot \left \lfloor \frac{m}{d}\right \rfloor\)　得

\(f\left ( x\right )=\sum_{x|d}\mu \left ( \frac{d}{x}\right )\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d}\right \rfloor\)

此时\(x=d\)，\(d\leq min\left ( n，m\right )\)，则\(f\left ( x\right )=\sum_{d=1}^{min\left ( n,m\right )}\mu \left ( \frac{d}{x}\right )\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d}\right \rfloor\)

令\(t=\frac{d}{x}\)，则\(d=xt\)；\(d\leq min\left ( n，m\right )\)，则\(t=\frac{d}{x}\leq min\left ( \frac{n}{x},\frac{m}{x}\right )\)

于是：\(f\left ( d\right )=\sum_{t=1}^{min\left ( \frac{n}{d},\frac{m}{d}\right )}\mu \left ( t\right )\left \lfloor \frac{n}{td}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{td}\right \rfloor\)

\(d\)是题目所给的常数，这里是\(k\)；

注意题目不是\(1\leq i\leq b,1\leq j\leq d\)，所以还要用到容斥原理，算出\(1\sim b,1\sim d\)，减去\(1\sim a,1\sim d\)，再减去\(1\sim c,1\sim b\)，再加上\(1\sim a,1\sim c\)

用整除分块+前缀和（预处理莫比乌斯函数）

AC_Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 5e4+10;
const int mod = 2333333;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define gok ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define rep(i,first,second) for(ll i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(ll i=first;i>=second;i--)
#define erep(i,u) for(ll i=head[u];~i;i=e[i].nxt)

int a,b,c,d,k;
bool prime[maxn];
int Prime[maxn],tot,mu[maxn],sum[maxn];
void get_mu(){
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=false;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;i++){
        if( prime[i] ) Prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*Prime[j]<=50000;j++){
            prime[i*Prime[j]]=false;
            if( i%Prime[j]==0 ){
                mu[i*Prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*Prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=50000;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

int cal(int n,int m){
    int res=0;
    for(int i=1,j;i<=min(n,m);i=j+1){
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        res += (sum[j]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    get_mu();
//    rep(i,1,10) cout<<mu[i]<<' '<<sum[i]<<endl;
    while( t-- ){
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%d\n",cal(b/k,d/k)-
               cal((a-1)/k,d/k)-
               cal(b/k,(c-1)/k)+
               cal((a-1)/k,(c-1)/k));
    }
    return 0;
}

 再放一道例题：注意下边界都是从1开始，且（a,b）（b,a）算一种，注意去重

AC_Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define rep(i,first,second) for(ll i=first;i<=second;i++)
#define dep(i,first,second) for(ll i=first;i>=second;i--)

bool prime[maxn];
ll Prime[maxn],tot,mu[maxn];
ll ans,sum[maxn];
ll a,b,c,d,k;

void get_mu(){
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=false;
    mu[1]=1;
    rep(i,2,100000){
        if( prime[i] ) Prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(ll j=1;j<=tot&&i*Prime[j]<=100000;j++){
            prime[i*Prime[j]]=false;
            if( i%Prime[j]==0 ){
                mu[i*Prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*Prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    rep(i,1,100000) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

ll cal(ll x,ll y){
    ll up=min(x,y);
    ll res=0;
    for(ll i=1,j;i<=up;i=j+1){
        j=min(x/(x/i),y/(y/i));
        res += (sum[j]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);
    }
    return res;
}

int main()
{
    int t,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    get_mu();
    while( t-- ){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d,&k);
        if( k==0 ){
            printf("Case %d: 0\n",++cas);
            continue;
        }
        b=b/k;d=d/k;
        ll up=min(b,d);
        ll ans1=cal(b,d);//重复区有两倍,要减去一倍
        ll ans2=cal(up,up);//重复区的那两倍数算出来
        printf("Case %d: %lld\n",++cas,ans1-ans2/2);//重复区的那两倍减去其中一倍即可
    }
    return 0;
}