积性函数

定义：

\(gcd\left ( x,y\right )=1\)，且 \(f\left ( xy\right )=f\left ( x\right )f\left ( y\right )\)，则\(f\left ( n\right )\)为积性函数。

若对任意的正整数\(a,b\)都有 \(f\left ( ab\right )=f\left ( a\right )f\left ( b\right )\)，则称\(f\)是完全积性的。

性质：

1.若\(f\left ( x\right )\)和\(g\left ( x\right )\)均为积性函数，则下列函数

也为积性函数：

\[h\left ( x\right )=f\left ( x^{p}\right )\]

\[h\left ( x\right )=f^{p}\left ( x\right )\]

\[h\left ( x\right )=f\left ( x\right )g\left ( x\right )\]

\[ h\left ( x\right )=\sum_{d|x}f\left ( d\right )g\left ( \frac{x}{d}\right )\left ( d|x表示xmodd==0\right )\]

2.若\(f\)是积性函数，且\(n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}...p_{s}^{a_{s}}\)是n的标准分解，则有\[f\left ( n\right )=f\left ( p_{1}^{a_{1}}\right )f\left ( p_{2}^{a_{2}}\right )f\left ( p_{3}^{a_{3}}\right )...f\left ( p_{s}^{a_{s}}\right )\]

因此研究积性函数\(f\)可以转化为研究\(f\left ( p^{a}\right )\)，即\(f\)在素数和素数的幂上取值。

例子说明：

1.单位函数：\(\epsilon \left ( n\right )=\left [ n=1\right ]\left ( \left [ condition\right ]表示当condition为真时取值为1，否则为0的函数\right )\)

　　　　　　即：\(\epsilon \left ( n\right )=1当n=1;\epsilon \left ( n\right )=0当n=0\)

2.常数函数：\(1\left ( n\right )=1\)

3.恒等函数：\(id_{k}\left ( n\right )=n^{k}id_{1}\left ( n\right )\left ( id_{k}表示一个集合k上的恒等函数\right )\)

　　　　　　平常表示也就是\(f\left ( x\right )=x\)

4.除数函数：\(\sigma _{k}\left ( n\right )\)用来表示\(n\)的因子的\(k\)次方之和

　　　　　　\(\sigma _{k}\left ( n\right )=\sum_{d|n}d^{k}\)

　　　　　　约数个数\(\sigma _{0}\left ( n\right )\)常记为\(d\left ( n\right )\)，约数和\(\sigma _{1}\left ( n\right )\)常记为\(\sigma\left ( n\right )\)

5.欧拉函数

6.莫比乌斯函数