网络流入门
什么是网络流？
在生活中，什么比较像图呢？答案一定不少吧，其中我想举的例子就是水管了。水管相互之间都是连通的，会构成一张图。从供水的一端出发，水必然沿一个固定的方向流向最终的汇聚点，也就是有向图。同时，在条件的限制下，水管有粗有细，不同的水管单位时间内的流水量限制是不同的，可以看做是带权图。运输货物、限载限量、快递等等，是不是都很类似？我们称这样的带权、有向图为网络，因为有流量，即为网络流。具体定义就是，供应流量的出发点称为源点 S，接受流量的汇聚点称为汇点 T。比如下图就是一个网络，其中所标注的权值为这条边的容量——即可以流过的最大值。
2最大流
最大流是网络流中最常见的问题，我们先来定义什么是可行流：要求每条边上流过的值不超过它的容量，且在每个点、边都不允许有 “ 积水 ”，即源点出去的流量 = 汇点收到的流量。最大流是求在所有的可行流中，流动的 “ 水 ” （流量）最多有多少。这确实是一个比较实际的问题，因为比如在水管系统中，我们都希望在水管不会出现任何故障的情况下，能够流过最多的水。
之前提到的网络中，看上去的最大流应该是 24，就是流入汇点的最大容量。但实际上的最大流如下图所示（红色的数表示流量），应该是 23，具体需要用算法来求解这个问题，一个比较直观的解释就是，容量为 12、7 和 4 这三条边已经都满流了，无法再增加流量。
网络流的相关定义：
- 源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。
- 汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。
- 容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量则通常是f[i,j].
- 可行流：要求每条边上流过的值不超过它的容量，且在每个点、边都不允许有 “ 积水 ”，即源点出去的流量 = 汇点收到的流量。
- 最大流：是求在所有的可行流中，流动的 “ 水 ” （流量）最多有多少。这确实是一个比较实际的问题，因为比如在水管系统中，我们都希望在水管不会出现任何故障的情况下，能够流过最多的水。把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
- 零流，即所有的流量都是0的流（显然是一个可行流）
求解思路：
- (1).我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。
- (2).那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
- (3).这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
(4).当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。
补充：
-
(1).寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS，并不断修改这条路上的delta 量，直到找到源点或者找不到增广路。
-
(2).在程序实现的时候，我们通常只是用一个c 数组来记录容量，而不记录流量，当流量+delta 的时候，我们可以通过容量-delta 来实现，以方便程序的实现。
相关问题：
为什么要增加反向边？
在做增广路时可能会阻塞后面的增广路，
或者说，做增广路本来是有个顺序才能找完最大流的。
但我们是任意找的，为了修正，就每次将流量加在了反向弧上，让后面的流能够进行自我调整。
举例：
比如说下面这个网络流模型
假如我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。
于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）
这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。
但是，
这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？
问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。
那么如何解决这个问题呢 ？
我们利用一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(i,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。
我们直接来看它是如何解决的：
在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。
c[x,y]-=delta;
c[y,x]+=delta;
我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下：
这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。
那么，这么做为什么会是对的呢？
事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给“退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。
如果这里没有2-4怎么办？
这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点
同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来“接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流。
