RMQ ---（ST算法）

RMQ ---（ST算法）

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列a，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i, j<=n)，返回数列a中下标在i，j之间的最小/大值。如果只有一次询问，那样只有一遍for就可以搞定，但是如果有许多次询问就无法在很快的时间处理出来。在这里介绍一个在线算法。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

 

1.首先做预处理（以处理区间最小值为例）

设st[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最小值。例如st[i][1]表示的是i位置和i+1位置中两个数的最小值

之后我们很容想到递推方程：

st[i][j] = min(st[i][j - 1], st[i + (1 << j - 1)][j - 1])

for(int j=1; (1<<j)<=n; j++){
        for(int i=1; i+(1<<j)<=n+1; i++){
            mn[i][j] = min(mn[i][j-1],mn[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }

2.查询

假设我们需要查询区间[l, r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);

那么为什么这样就可以保证为区间最值吗?

st[l][k]维护的是[l, l + 2 ^ k - 1], st[r - (1 << k) + 1][k]维护的是[r - 2 ^ k + 1, r] 。

那么我们只要保证r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1就能保证RMQ[l,r] = min(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k])；

我们用分析法来证明下：

若r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1;

则r - l + 2 <= 2 ^ (k + 1);

又因为 k = log2(r - l + 1)；

则r - l + 2 <= 2 *(r - l + 1);

则r - l >= 0;

显然可得。

由此得证。

我们来举个例子 l = 4, r = 6;

此时k = log2(r - l + 1) = log2(3) = 1;//向下取整

所以RMQ[4, 6] = min(st[4][1], st[5][1]);

st[4][1] = 4, st[5][1] = 2;

所以RMQ[4, 6] = min(mn[4][1], mn[5][1]) = 2;

我们很容易看出来了答案是正确的。

模板代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+5;

int a[maxn];
int st[maxn][25];
int n,q,l,r;
int Log2[maxn];

void init(){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if( i==0 ){
            Log2[i] = -1;
        }
        else{
            Log2[i] = Log2[i>>1]+1;
        }
    }
    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++){
        for(int i=1; i+(1<<j)<=n+1; i++){
            st[i][j] = min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}

int query(int l, int r){
    int k = Log2[r-l+1];
    return min(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}

void solve(){
    init();
    scanf("%d",&q);
    while( q-- ){
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",query(l,r));
    }
}

int main()
{
    while( ~scanf("%d",&n) ){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",a+i);
            st[i][0] = a[i];
        }
        solve();
    }
    return 0;
}