二分图基础

什么是二分图：

二分图也叫二部图，设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图，如下图所有的顶点可以分成A，B两个集合，而A集合与B集合中的点与自己的阵营的点是没有连线的（A集合的点只与B集合的点有边相连），则称这个为一个二分图

 

二分图的判定（染色法）：

给定一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图，图中可能存在重编和自环。请判断这个图是否为二分图，数据范围：\(1\leq n,m\leq 10^{5}\)

算法描述：

1. 选取一个未染色的点u进行染色
2. 遍历u的相邻节点v：若v未染色，则染色成与u不同的颜色，并对v重复第2步；若v已经染色，如果 u和v颜色相同，判定不可行退出遍历。
3. 若所有节点均已染色，则判定可行。

\(dfs\)版模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;

struct node{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];

int head[maxn],tot;
int n,m;
bool flag;
int color[maxn];

void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot=0;
    flag=true;
}

void addedge(int u,int v){
    e[tot].to=v; e[tot].nxt=head[u]; head[u]=tot++;
    e[tot].to=u; e[tot].nxt=head[v]; head[v]=tot++;
}

bool dfs(int u,int c){
    color[u]=c;                     //给当前这个点u的颜色是c
    for(int i=head[u];~i;i=e[i].nxt){
        int to=e[i].to;
        if( !flag ){
            return false;
        }else if( !color[to] ){     //u 的邻接点 to 未被染色
            dfs(to,3-c);            //u的颜色如果是1，to就是3-1=2；u的颜色如果是2，to就是3-2=1
        }else if( color[to]==c ){
            return flag=false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    init();
    cin>>n>>m;

    while( m-- ){
        int a,b; cin>>a>>b;
        addedge(a,b);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){          //遍历图的所有点
        if( !color[i] ){
            if( !dfs(i,1) ){
                flag=false;
                break;
            }
        }
    }
    if( flag ) cout<<"Yes"<<endl;   //是二分图
    else cout<<"NO"<<endl;          //不是二分图
}

 \(bfs\)版模板：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;

struct node{
    int to,nxt;
}e[maxn<<1];

int head[maxn],tot;
int n,m;
bool flag;
int color[maxn];

void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot=0;
    flag=true;
}

void addedge(int u,int v){
    e[tot].to=v; e[tot].nxt=head[u]; head[u]=tot++;
    e[tot].to=u; e[tot].nxt=head[v]; head[v]=tot++;
}

bool bfs(int u){
    queue<pair<int,int>>q;
    q.push({u,1});//first:存节点编号,second存节点颜色
    color[u]=1;
    while( !q.empty()){
        pair<int,int> t=q.front(); q.pop();
        int ver=t.first,c=t.second;
        for(int i=head[ver];~i;i=e[i].nxt){
            int to=e[i].to;
            if( !color[to] ){
                color[to]=3-c;
                q.push({to,3-c});
            }else if( color[to]==c ) return false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    init();
    cin>>n>>m;

    while( m-- ){
        int a,b; cin>>a>>b;
        addedge(a,b);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){          //遍历图的所有点
        if( !color[i] ){
            if( !bfs(i) ){
                flag=false;
                break;
            }
        }
    }
    if( flag ) cout<<"Yes"<<endl;   //是二分图
    else cout<<"NO"<<endl;          //不是二分图
}

模板题：二分图一•二分图判定