欧拉函数入门
欧拉函数:小于x的整数中与x互质的数的个数,一般用φ(x)表示,φ(1)=1
计算公式:φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn),其中x的所有素因子数分别为p1,p2,p3,...,pn.
常用性质:1.对于素数p,φ(p) = p-1, φ(pk) = pk-pk-1
2.当gcd(n,m) = 1时,φ(n*m) = φ(n) * φ(m).
暴力求一个数n的φ(n)模板
1 /* */ 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cmath> 5 #include <cstring> 6 #include <string> 7 using namespace std; 8 9 //12==2*2*3; 10 int phi(int n) 11 { 12 int m=sqrt(n)+0.5; 13 int ans=n; 14 for(int i=2;i<=m;i++) 15 { 16 if(n%i==0) 17 { 18 ans=ans/i*(i-1);//即为ans*(1-1/i) 19 while( n%i==0 ) n/=i;//去重 20 } 21 } 22 if( n>1 ) ans=ans/n*(n-1); 23 return ans; 24 } 25 26 int main() 27 { 28 int t; 29 scanf("%d",&t); 30 printf("%d\n", phi(t)); 31 return 0; 32 }
打表法:
1 /* */ 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cmath> 5 #include <cstring> 6 #include <string> 7 using namespace std; 8 const int maxn=1000; 9 int phi[maxn+10]; 10 11 void phi_init() 12 { 13 memset(phi,0,sizeof(phi)); 14 phi[1]=1; 15 for(int i=2; i<=maxn; i++ ) 16 { 17 if( !phi[i] ) 18 { 19 for(int j=i; j<=maxn; j+=i ) 20 { 21 if( !phi[j] ) phi[j]=j; 22 phi[j]=phi[j]/i*(i-1); 23 } 24 } 25 } 26 } 27 28 int main() 29 { 30 phi_init(); 31 for(int i=0; i<=10; i++ ) cout<<phi[i]<<" "<<endl; 32 return 0; 33 }
AC代码,由于数比较大记得用ull
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 /* */ 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cmath> 5 #include <cstring> 6 #include <string> 7 using namespace std; 8 const int maxn=5000010; 9 typedef unsigned long long ull; 10 ull phi[maxn+10]; 11 12 void phi_init() 13 { 14 memset(phi,0,sizeof(phi)); 15 phi[1]=1; 16 for(int i=2; i<maxn; i++ ) 17 { 18 if( !phi[i] ) 19 { 20 for(int j=i; j<maxn; j+=i ) 21 { 22 if( !phi[j] ) phi[j]=j; 23 phi[j]=phi[j]/i*(i-1); 24 } 25 } 26 } 27 } 28 29 void init() 30 { 31 ull temp=0; 32 int i; 33 phi[0]=0; 34 for(i=1; i<maxn; i++ ) 35 { 36 temp += phi[i]*phi[i]; 37 phi[i]=temp; 38 } 39 } 40 41 int main() 42 { 43 int t, top=0, a, b; 44 scanf("%d",&t); 45 phi_init(); 46 init(); 47 while( t-- ) 48 { 49 scanf("%d %d",&a,&b); 50 printf("Case %d: %llu\n", ++top, phi[b]-phi[a-1]); 51 } 52 return 0; 53 }