求逆元算法
费马小定理：若p是素数，a是正整数且不能被p整除，则ap-1 == 1(mod p)
费马小定理的拓展：ap == a(mod p)
欧拉定理：对任意互素的a和n. 设Φ(n) 为小于n且与n互素的正整数的个数，有aΦ(n) == 1(mod n)
欧拉定理的拓展：aΦ(n)+1 == a(mod n)
求乘法逆元的作用：除以一个数 再取模时，可以将这个数乘以这个数的逆元 再取模（将除法转化成乘法运算）
为什么要这样等价：对于 (a/b)% mod 这个式子，是不可以等价为 ((a%mod) / (b%mod))%mod 的 (例如：a=3，b=2，mod=3)，但是可以写为(a*b-1)%mod，其中b-1表示b的逆元。这就是逆元的作用
引用计蒜客某题面：
什么是乘法逆元：a*x = 1（mod C），那么称 x 为 a 对 C 的乘法逆元
e.g. a = 4，C = 7 则逆元 x = 2;
4*2=1(mod 7) 12/4%7 = (12*2)%7 (除法换乘法）
用一道入门题来来学习三中模板：https://www.luogu.org/problem/P3811
模板一：
线性打表递推法：（递推公式：inv[i] = (p-p/i) * inv[p%i] % p )
这种方法最快，但是耗费的空间多
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <string> 5 #include <ctime> 6 #include <climits> 7 #include <utility> 8 #include <deque> 9 #include <queue> 10 #include <map> 11 #include <algorithm> 12 #include <functional> 13 using namespace std; 14 typedef long long ll; 15 16 ll inv[3000006]; 17 int main() 18 { 19 ll a, p; 20 while(~scanf("%lld %lld", &a, &p) ) 21 { 22 memset(inv, 0, sizeof(inv)); 23 inv[0] = 1; 24 inv[1] = 1; 25 for(ll i=2; i<=a; i++ ) 26 inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p; 27 for(ll i=1; i<=a; i++ ) 28 printf("%lld\n", inv[i]); 29 } 30 return 0; 31 }
模板二：
拓展欧几里得算法
这道题我用这个方法TLE了，这个次慢
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <string> 5 #include <ctime> 6 #include <climits> 7 #include <utility> 8 #include <deque> 9 #include <queue> 10 #include <map> 11 #include <algorithm> 12 #include <functional> 13 using namespace std; 14 typedef long long ll; 15 16 void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) 17 { 18 if( b==0 ) 19 { 20 x=1; 21 y=0; 22 return ; 23 } 24 exgcd(b, a%b, y, x); 25 y -= (a/b)*x; 26 return ; 27 } 28 29 int main() 30 { 31 ll a, p; 32 ll x, y; 33 while( ~ scanf("%lld %lld", &a, &p) ) 34 { 35 for(ll i=1; i<=a; i++ ) 36 { 37 exgcd(i, p, x, y); 38 x = (x%p+p)%p; 39 printf("%lld\n", x); 40 } 41 } 42 return 0; 43 }
模板三：
费马小定理算法：（快速幂（a，p-2，p）），前提是a p互质，这个也TLE了，这个最慢
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <string> 5 #include <ctime> 6 #include <climits> 7 #include <utility> 8 #include <deque> 9 #include <queue> 10 #include <map> 11 #include <algorithm> 12 #include <functional> 13 using namespace std; 14 typedef long long ll; 15 16 ll fpm(ll x, ll power, ll mod) 17 { 18 ll ans = 1; 19 for( ; power; power>>=1,(x*=x)%=mod ) 20 if( power&1 ) 21 (ans*=x)%=mod; 22 return ans; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 ll a, p; 28 ll x, y; 29 while( ~ scanf("%lld %lld", &a, &p) ) 30 { 31 for(ll i=1; i<=a; i++ ) 32 { 33 printf("%lld\n", fpm(i,p-2,p)); 34 } 35 } 36 return 0; 37 }
