Luogu P2179 [NOI2012] 骑行川藏 （拉格朗日乘数法）（黑题祭！！）
首先：第一道手撕的黑题祭！2022.4.20
题意：
在满足 $\sum_{i=1}^{n} {k_{i} \times s_{i} \times (v_{i} - v_{i}{}' )^2} \le E_{U} $ 的条件下，
使得 $\sum_{i=1}^{n} {\frac{s_{i}}{v{i}} } $ 最小，
其中 $k_{i},s_{i},v_{i}{}'$ 为给定的常数，未知量就是 $v_{i}$。
分析：
其实学过拉格朗日乘数法的已经能看出来了，求这种多元函数的极值，有了给定的约束条件，直接拉乘就可以了。
那么拉格朗日乘数法是什么呢？
首先你得学会导数，只需要记住几个基本函数的求导法则就行了，比如幂函数，指数函数，对数函数，$sin$，$cos$ ，再学会函数加和、乘积、作比的求导法则，基本够用了。
其实从高等数学的角度来讲，我不会，如果好奇可以去这里。
所以从通俗角度来讲，我们只需要掌握套路，知道这个东西可以求极值就行了。
那么套路是什么呢？
首先题中给出了约束条件，也就是未知量的一个等式，在本题中，我们可以贪心的想：
我们消耗的体力越多，肯定跑的越快，也就是那个式子越小。
所以我们不妨令约束条件为 $\sum_{i=1}^{n} {k_{i} \times s_{i} \times (v_{i} - v_{i}{}' )^2} = E_{U}$。
接下来引出拉格朗日乘数法最核心的部分：
我们要求上面式子的极值，就要引入一个 $\lambda $，
然后得到这样的一个函数：
$\sum_{i=1}^{n} {\frac{s_{i}}{v{i}} } + \lambda (\sum_{i=1}^{n} {k_{i} \times s_{i} \times (v_{i} - v_{i}{}' )^2} - E_{U})$
观察一下是怎么得来的？
首先把要求极值的式子抄过来，再写一个 $\lambda$，再用它乘上约束条件的量都移项到左边的样子。
接下来我们要对这个函数中的每一个变量，也就是我们要求的 $v_{i}$ 和 $\lambda$，求偏导，
偏导是什么？我不会啊啊啊！！！
不，你会！
偏导其实就是只考虑当前一个变量，把其他所有的无关变量以及原有的常量统一认为是常量，然后求导。
所以我们推导一下：
对于 $v_{i}$：
首先忽略与他无关的常数式子，得到:
${\frac{s_{i}}{v_{i}} } + \lambda \times {k_{i} \times s_{i} \times (v_{i} - v_{i}{}' )^2}$
此时进行求导，可以得到:
$-\frac{s_{i}}{v_{i}^2} + 2\times \lambda \times {k_{i} \times s_{i} \times (v_{i} - v_{i}{}' )}$
注意这里有个小技巧就是
如果 $f(x) = (x + b)^2$ 那么 $f{}’(x) = 2(x + b)$，手推一下就知道了。
接下来对 $\lambda$ 求导就没什么了，把系数抄下来就OK:
$\sum_{i=1}^{n} {k_{i} \times s_{i} \times (v_{i} - v_{i}{}' )^2} - E_{U}$
众所周知，函数求极值在导函数的零点处取得，所以我们要让所有的 $v_{i}$ 还有 $\lambda$ 都使得他们的导函数为 $0$，也就是说我们所求的式子的极值，在我们求偏导得出的所有式子同时为 $0$ 时取得。
接下来考虑怎么求：
首先我们发现，直接找每一个 $v_{i}$，如同我们脱裤子放屁，是不可行的。
我们看看对 $v_{i}$ 导数的式子可以得到什么？
$2\times \lambda \times {k_{i} \times {v_{i}^2} \times (v_{i} - v_{i}{}' )} = 1$
非常滴amazing啊，这不反比例吗？
当然不全是，至少我们肯定能看出来随着 $\lambda$ 递增，$v_{i}$ 肯定递减，且这个时候的 $v_{i}$ 最便于确定。
好！那就二分 $\lambda$ 吧！
然后在二分答案的时候，在里面二分 $v_{i}$ 就好了，因为内外都有单调性，都可以二分，这样我们肯定能逼近到所有
方程都为 $0$ 也就是取到极值的时候啦。
代码部分，其实和之前的神犇好像都差不多啦，重在理解学习！
#include<cstdio> #include<queue> #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cctype> #include<vector> #include<string> #include<climits> #include<stack> using namespace std; template <typename T> inline void read(T &x){ x=0;char ch=getchar();bool f=0; while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); if(f)x=-x; } template <typename T,typename ...Args> inline void read(T &tmp,Args &...tmps){read(tmp);read(tmps...);} const double eps = 1e-12; const int N = 1e4 + 5; int n; double E,ans; double s[N],k[N],v[N],u[N]; inline bool check(double lambda,double v,double k,double u){ return 2 * lambda * k * v * v * (v - u) <= 1;//检查关于v[i]的导数是否符合条件 } inline double po(double x){return x * x;} inline bool check1(double lambda){ double res = 0; for(int i=1;i<=n;++i){ //puts("1"); double l = max(u[i],0.0),r = 1e5; while(l + eps <= r){//二分v[i] double mid = (l + r) / 2; if(check(lambda,mid,k[i],u[i]))l = mid; else r = mid; } v[i] = l; res += k[i] * po(v[i] - u[i]) * s[i]; } return res <= E;//这是关于λ的导数方程的检验 } signed main(){ read(n); scanf("%lf",&E); for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&u[i]);//别问为什么v'用u，问就是图论做多了 double l = 0,r = 1e5; while(l + eps <= r){//二分λ double mid = (l + r) / 2; if(check1(mid))r = mid; else l = mid; } for(int i=1;i<=n;++i)ans += s[i] / v[i]; printf("%.8lf",ans); }
