有向图与无向图：欧拉路径&欧拉回路（一笔画）

咕了好久的图论的一小小小部分。

1、定义

欧拉路径 ：不重复经过图上每一条边的路径 

欧拉回路 ： 起止点相同的欧拉路径

2、判定

$\bullet$ 有向图：

　　$\bullet$  欧拉路径 ：图中有且仅有 $1$ 个点出度比入度多 $1$ ，为起点；图中有且仅有 $1$ 个点入度比出度多 $1$ ，为终点；其余节点 入度 $=$ 出度。

　　$\bullet$  欧拉回路 ：图中所有点 入度 $=$ 出度，起止点为任意点。

$\bullet$ 无向图：

　　  $\bullet$  欧拉路径 ：图中仅有 $2$ 个点度数为奇数，其余点度数为偶数，这两个奇数点可以任意选为起点终点。

　   $\bullet$  欧拉回路 ：所有点度数都是偶数，起止点任意。

其实这些概念还是很好理解的，有进就有出，否则肯定有走不通的，回路就是起止点连在一起了。

3、寻找

假设我们已经选好起点，那么一次对图的 dfs 即可求出，我们只需要用栈记录即可。

注意！如果题中要求按字典序，那最好是用 vector 或者邻接矩阵。

附上例题：传送门~。

哦对了，无向图的最好是只用邻接矩阵，不然删边很麻烦的！！

例题代码，算是有向图欧拉路径的板子，一个通了别的也通了。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<string>
#include<climits>
#include<stack>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0;char ch=getchar();bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template <typename T,typename ...Args>
inline void read(T &tmp,Args &...tmps){read(tmp);read(tmps...);}
const int N = 1e6 + 5;
int in[N],out[N],n,m,now[N];
vector<int>g[N];
stack<int>s;
int flag = 1,cnt[2],st = 1;
inline void dfs(int u){
    for(int i=now[u];i<g[u].size();i=now[u]){
        now[u] = i + 1;//避免重复走
        dfs(g[u][i]);
    }
    s.push(u);//记录，也可以手写栈更快
}
signed main(){
    read(n,m);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int u,v;
        read(u,v);
        g[u].push_back(v);
        in[v]++;
        out[u]++;   //统计结点入度出度，如果是无向图统一一个数组记录度
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)sort(g[i].begin(),g[i].end());//题里要字典序，忽略啦~
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(in[i] != out[i])flag = 0;
        if(out[i] == in[i] + 1)cnt[1]++,st = i;
        if(in[i] == out[i] + 1)cnt[0]++;    
    }
    if((!flag) && !(cnt[0] == cnt[1] && cnt[0] == 1))return printf("No"),0;//既没有回路也没有路径
    dfs(st);
    while(!s.empty())printf("%d ",s.top()),s.pop();//输出
}

 

无向图欧拉回路例题

代码比较丑啦，但是精髓还在。

#include<cstdio>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(register int i=(a);i<(b);++i)
#define rrep(i,a,b) for(register int i=(a);i>=b;--i)
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0;char ch=getchar();bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template <typename T,typename ...Args>
inline void read(T &tmp,Args &...tmps){read(tmp);read(tmps...);}
const int N = 55;
int g[N][N],t,n,du[N];
struct qwq{
    int u,v;    
};
stack<qwq>s;
int st;
inline void init(){
    while(!s.empty())s.pop();
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(du,0,sizeof(du));
}
void dfs(int cur){
    rep(i,1,50){
        if(g[cur][i]){
            g[cur][i]--,g[i][cur]--;
            dfs(i);
            s.push((qwq){cur,i});
        }
    }
}
inline int solve(){
    int ji = 0;
    rep(i,1,50){
        ji += du[i]&1;
    }
    if(ji)return 0;
    dfs(st);
    return 1;
}

signed main(){
    read(t);
    rep(i,1,t){
        read(n);    
        st = 0;
        rep(j,1,n){
            int u,v;
            read(u,v);
            g[u][v]++,g[v][u]++;
            du[u]++,du[v]++;
            if(!st)st = u;
        }
        printf("Case #%d\n",i);
        if(!solve())puts("some beads may be lost");
        else while(!s.empty())printf("%d %d\n",s.top().u,s.top().v),s.pop();
        putchar('\n');
        init();
    }
}