manacher (马拉车算法)
该算法用于线性O(n)求解最长回文子串
该算法核心有两点,一个是我们维护的 $p$ 数组,一个是我们记录的当前最右侧的回文串。
$p$ 数组: $p[i]$ 代表的是 $i$ 位置所能扩展到的最大的回文串的半径,包含中心点。
注意这样的话会出现一个问题,如果是偶回文串呢?所以我们要进行一个处理
~|A|B|C|C|B|A|
也就是说在字符间加上一个隔板 ‘ | ’从而使所有的回文串都是奇回文串,开头的 ‘~’ 我们可以忽略他,先不用管
那么这个数组有什么用呢?
考虑这样的情况:
$mid$ $r$是之前找到的最靠右的回文串,$mid$是对称中心,也是之前扫过的点。
$i'$ 与 $i$ 关于 $mid$ 对称,那么根据中点公式可知 $i' = mid * 2 - i$。
假设当前节点 $i$ 包含在他里面,那么肯定会有黄色的两段是对称全等的,也就是说在这个范围内,$p[ i ] = p[ i ']$,二者的最长回文半径相等,当然如果该半径已经超出了这个回文串,就直接变成 $r-i+1$ 换句话说 $p[ i ] = min(p[ i' ],r - i + 1 ) $
这也是为什么他能做到 $O(n)$ 的原因,省去了不必要的循环。
至此,我们就可以接着往下扩展找回文了。
同时一直更新 $r$ 与 $mid$
因为我们添加了隔板,所以最后答案的长度就是 $p_{max} - 1$ 至于为什么减一,因为不管是奇回文还是偶回文,我们添上隔板之后隔板数总会比串长多一,因为我们记录的是含中心的半径,那么减去一就行了。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<iostream> using namespace std; string a; int p[11000005*2]; inline void get(){ char ch; a += '$'; a += '|'; while((ch = getchar()) <= 'z' && ch >= 'a'){ a += ch; a += '|'; } } inline int manacher(){ int len = a.length(),ans = -1; for(int i=1,r=0,mid=0;i<=len;++i){ if(i <= r)p[i] = min(p[(mid<<1)-i],r-i+1); while(a[i-p[i]] == a[i+p[i]])p[i]++;// $ 就是防止溢出的 if(p[i] + i - 1> r)r = p[i] + i - 1,mid = i; if(p[i] > ans)ans = p[i]; } return ans; } int main(){ get(); printf("%d",manacher()-1); }