最小生成树 Prim & kruskal
最小生成树
给定一个图 $G$ 用 $n-1$条边将点连起来,得到一颗边权之和最小的树。
最小生成树有两种算法,用哪种取决于 $n,m$ 大小,边比较稀疏用 $kruskal$ 完全图或者稠密图用$Prim$
Prim算法
将图中的点分为两个集合$G1 G2$一个表示在生成树中的点,一个表示不在生成树的点。
开始所有点都在 $G2$ 任选一个起点$s$加入$G1$ 记录一个$dis$数组表示$G2$中的点到$G1$中的点的边权最小值,每次选$dis$值最小的点加入$G1$,直到得到生成树。
复杂度 $O(n^2)$
inline void Prim(){ memset(dis,0x3f3f3f,sizeof(dis)); int tot = 0;//tot记录生成树边权之和 vis[s] = 1;//vis 记录是否在G1中 dis[1] = 0; int mini,k; for(int i=1;i<=n;++i)dis[i] = f[s][i]; // 边权,若没有则是正无穷 for(int i=1;i<n;++i){ mini = 0x3f3f3f; k = 0; for(int j=1;j<=n;++j){//找到dis最小的点 if(!vis[j] && dis[j] < mini){ mini = dis[j]; k = j; } } tot += dis[k]; vis[k] = 1; for(int j=1;j<=n;++j) if(f[k][j] < dis[j]) dis[j] = f[k][j];//更新边权最小值 } }
Kruskal算法
该算法复杂度为$O(mlogm)$ $m$为边数
实现也比较简单好理解:
将边按照边权升序排列,每次取出权值最小的边,如果边的端点不在同一颗树就插入生成树,反之舍弃,直到插入$n-1$条边。
是否在同一颗树用并查集维护。
inline int find(int x){return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);} inline void kruskal(){ sort(g1+1,g1+1+m);//边权升序 for(int i=1;i<=n;++i)f[i] = i; for(int i=1;i<=m;++i){ int x = find(g1[i].x),y = find(g1[i].y); if(x == y)continue; f[x] = f[y]; add(g1[i].x,g1[i].y,g1[i].dis); add(g1[i].y,g1[i].x,g1[i].dis);//建树 } }