最小生成树 Prim & kruskal

最小生成树

给定一个图 $G$ 用 $n-1$条边将点连起来，得到一颗边权之和最小的树。

最小生成树有两种算法，用哪种取决于 $n,m$ 大小，边比较稀疏用 $kruskal$ 完全图或者稠密图用$Prim$

Prim算法

将图中的点分为两个集合$G1 G2$一个表示在生成树中的点，一个表示不在生成树的点。

开始所有点都在 $G2$ 任选一个起点$s$加入$G1$ 记录一个$dis$数组表示$G2$中的点到$G1$中的点的边权最小值，每次选$dis$值最小的点加入$G1$，直到得到生成树。

复杂度 $O(n^2)$

inline void Prim(){
    memset(dis,0x3f3f3f,sizeof(dis));
    int tot = 0;//tot记录生成树边权之和
    vis[s] = 1;//vis 记录是否在G1中
    dis[1] = 0;
    int mini,k;
    for(int i=1;i<=n;++i)dis[i] = f[s][i]; // 边权，若没有则是正无穷
    for(int i=1;i<n;++i){
        mini = 0x3f3f3f;
        k = 0;
        for(int j=1;j<=n;++j){//找到dis最小的点 
            if(!vis[j] && dis[j] < mini){
                mini = dis[j];
                k = j;
            }
        }
        tot += dis[k];
        vis[k] = 1;
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if(f[k][j] < dis[j])
                dis[j] = f[k][j];//更新边权最小值 
    } 
}

Kruskal算法

该算法复杂度为$O(mlogm)$ $m$为边数

实现也比较简单好理解：

将边按照边权升序排列，每次取出权值最小的边，如果边的端点不在同一颗树就插入生成树，反之舍弃，直到插入$n-1$条边。

是否在同一颗树用并查集维护。

inline int find(int x){return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);}
inline void kruskal(){
    sort(g1+1,g1+1+m);//边权升序
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i] = i;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x = find(g1[i].x),y = find(g1[i].y);
        if(x == y)continue;
        f[x] = f[y];
        add(g1[i].x,g1[i].y,g1[i].dis);
        add(g1[i].y,g1[i].x,g1[i].dis);//建树
    }
}