目标和问题---动态规划+背包问题+数学

思路

数学推导：

将数组随机分为两部分，第一部分和为left，第二部分和为right，数组总和为sum，目标和为target。
可以得到:

	left+right=sum
	left-right=target

可以推出：
left=（sum+target)/2 或者 right=（sum-target)/2

以上两种选择都可以通过，我选择第二种 diff=sum-target

• 如果diff<0显然不成立，因为所有元素都是非负数
• 如果diff为奇数也不成立，应为所有元素都为整数，相加不可能有小数

综上所述，可以将问题转化为背包问题，将容量为left的背包装满有多少种方式。

背包问题：装满背包有多少种方式。

dp[i][j]的含义：有i件物品，背包容量为j时，装满背包最多有多少种；

• 当j<num[i-1]时，只有一种情况，不装第i件物品，即有i-1件物品，容量为j时，装满有多少种情况，dp[i][j]=dp[i-1][j].
• 当j>=nums[i-1]时，有两种情况，装和不装第i件物品,总方式有这两种情况相加得到，d[i][j]=d[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i-1]]
• 注意:nums数组下表从0开始，循环从1开始。

链接：https://leetcode.cn/problems/target-sum/solutions/2837852/dong-tai-gui-hua-bei-bao-wen-ti-shu-xue-n5pka/

代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        int sum = 0;
        for (int a : nums)sum += a;//所有数的和
        //如果为奇数，不存在目标和为target的情况
        if (sum - target<0||(sum + target) % 2 == 1)return 0;
        //dp[i][j]的含义：当有i个数，目标和为j时，装满背包的方式最多有多少种
        int dp[1010][1010] = { 0 };
        int m = (sum - target) / 2;
        //初始化dp
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= m; j++)
            {
                if (nums[i-1] > j)
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                 }
                else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};