486. 预测赢家(从递归到动态规划）

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1：

输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。
示例 2：

输入：[1, 5, 233, 7]
输出：True
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家 1 可以成为赢家。
 

提示：

1 <= 给定的数组长度 <= 20.
数组里所有分数都为非负数且不会大于 10000000 。
如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家 1 仍为赢家。

//递归

　　 // 递归: 1 5 233 7; 
    // 第一次可以选start 也可以选end
    int helper(vector<int>& nums,int start,int end){
        if(start ==end) return nums[start];
        int leftScore = nums[start]-helper(nums,start+1,end);
        int rightScore = nums[end]-helper(nums,start,end-1);
        return max(leftScore,rightScore);
    }
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        return helper(nums,0,nums.size()-1) >= 0 ? true:false;
    }

//带记录的递归

//记录中间结果
    int helper(vector<int>& nums,int start,int end,vector<vector<int>>& records,vector<vector<bool>>& visited){
        if(start ==end){
            records[start][end] = nums[start];
            visited[start][end] = true;
            return records[start][end];
        } 
        if(visited[start][end]) return records[start][end];
        int leftScore = nums[start]-helper(nums,start+1,end,records,visited);
        int rightScore = nums[end]-helper(nums,start,end-1,records,visited);
        visited[start][end]= true;
        records[start][end]=max(leftScore,rightScore);
        return records[start][end];
    }
    //由递归推出子问题： A取1，B取 7剩余 (5 233)  A取7，B取1 剩余（5  233)有相同子问题
    //nums[i:j]的最大值可以记录下来
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<bool>> visited(n,vector<bool>(n,false));
        vector<vector<int>> records(n,vector<int>(n,0));
        return helper(nums,0,n-1,records,visited) >=0 ? true:false;
    }

 

//dp

//dp:用for循环替代上述带记录的递归
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,0));
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i][i] = nums[i];
        }
        //dp[i][j]表示 nums[i:j]能得到的最大分.
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            for(int j=i+1;j<n;j++){
                dp[i][j] = max(nums[i]-dp[i+1][j],nums[j]-dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[0][n-1]>=0?true:false;
    }