错位排列

证明：

设1，2，...，n的全排列t1，t2，...，tn的集合为I,而使ti=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，

则Dn=|I|-|A1∪A2∪...∪An|.

所以Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|.

注意到|Ai|=(n-1)!，|Ai∩Aj|=(n-2)!，...，|A1∩A2∩...∩An|=0!=1。

由容斥原理：

Dn=n!-|A1∪A2∪...∪An|=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)!+...+(-1)^nC(n,n)*0!

=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)