P4089 [USACO17DEC]The Bovine Shuffle

首先,答案肯定是**在环上的点的个数** 证明的话,可以看 [这里](https://gditzabc.blog.luogu.org/solution-p4089) 我直接搬运好了.

---

分析：首先我们来想一下为什么答案不会是0。如果答案为0，就意味着每个节点都在某个(不同)回合没有了牛。因为所有节点的出度都=1，所以从节点A到节点B的路(无论是直接还是间接)有且仅有一条，并且节点A在最多一个环中。所以如果节点A一旦失去了所有的牛，那么就再也不会有任何的牛到达节点A。

举一个例子。设想节点A。如果想要A失去所有牛之后再获得牛，那么我们可以知道至少有一个节点(记为B)有一条到A的有向边(记为B->A)。因为我们需要让A先失去牛，所以当A有牛时，B必然没有牛(因为B不能再向其他节点连边)，而下一个回合，A失去牛之后，B又要拥有牛。回到初始状态，所有节点都有一只牛，因此不会出现A(或B)先失去牛又获得牛的情况。

那么现在知道了如果节点A一直都拥有牛，那么A必定在一个环内。

---

关于怎么求环嘛...不难发现这是一个内向树(其实是森林), 然后很好证明内向树里面的环肯定是自环或者大小不为\(1\)的强联通分量, 所以跑一跑tarjan求出大小不为\(1\)的强联通分量, 然后特判求自环就好啦!

ps: 其实可以排除不在环内的点再判环输出答案, 比我的做法不知道高到哪儿去了.

#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 20;
inline int read()
{
	int x = 0; char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return x;
}

int N;
int a[MAXN], ans = 0;

namespace SCC
{
	stack<int> sta;
	int low[MAXN], dfn[MAXN];
	bool ins[MAXN];

	int tarjan(int cur){
		static int dfnclock = 0;
		dfn[cur] = low[cur] = ++dfnclock;
		sta.push(cur), ins[cur] = true;

		int v = a[cur];
		if(!dfn[v]) low[cur] = min(low[cur], tarjan(v));
		else if(ins[v]) low[cur] = min(low[cur], dfn[v]);

		if(dfn[cur] == low[cur]){
			int cnt = 0;
			do{
				v = sta.top(); sta.pop();
				ins[v] = false; ++cnt;
			}while(v != cur);
			if(cnt > 1) ans += cnt;
		}
		return low[cur];
	}

	void solve(){
		for(int i = 1; i <= N; i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
		for(int i = 1; i <= N; i++) if(a[i] == i) ++ans;
	}
}


int main()
{
	cin>>N;
	for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = read();
	SCC::solve();
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}