图论学习:树上问题（LCA，树链剖分）
图论:树上问题（LCA，树链剖分）
一.LCA（Least Common Ancestors）：最近公共祖先
对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u和v的祖先且x的深度尽可能大。在这里，一个节点也可以是它自己的祖先
——百度百科
求LCA的常用算法：
1.离线算法：LCA（tarjan）
2.在线算法：倍增LCA和ST表，树链剖分
1. LCA（Tarjan）：
LCA的离线算法用的不多，这里不做多讲：
具体看这篇博客，讲解很详细
空间太大了。。
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/*
LCA 离线Tarjan
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
struct node{
int v,next;
}e[maxn];
int head[maxn],cnt=0;
int fa[maxn];
int getfa(int x){
return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);
}
void add(int u,int v){
e[++cnt].v=v;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
int n,m,s;
struct que{
int id,note;
}p[maxn];
vector<que> vt[maxn];
bool vis[maxn];
int ans[maxn];
void dfs(int u,int f){
for (int i=head[u];i;i=e[i].next){//一直往下遍历
int v=e[i].v;
if(v!=f){
dfs(v,u);
fa[v]=u;
}
}
for (int i=0;i<vt[u].size();i++){
if(vis[vt[u][i].note]){
ans[vt[u][i].id]=getfa(vt[u][i].note);
}
}
vis[u]=1;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for (int i=1;i<=n-1;i++){
int u,v;
scanf("%d %d",&u,&v);
add(u,v);
add(v,u);
}
for (int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
vt[u].push_back((que){i,v});
vt[v].push_back((que){i,u});
}
dfs(s,0);
for (int i=1;i<=m;i++) {
printf("%d\n",ans[i]);
}
return 0;
}
2.倍增LCA
倍增算法：
假设有4个数a[1]-a[4]，现在我要从a[1]找到a[4]，一种普遍方法是a[1]--a[2]--a[3]--a[4]这样子，但这样的速度太慢，我们考虑如下方法：
设f[i][j]表示a[i]的后第 2j 次方的数的下标值，则有：
f[1][0]=2,f[2][0]=3,f[3][0]=4
f[1][1]=3,f[2][1]=4
这样我们便可以找f[1][1]和f[3][0]便可以从a[1]到a[4]了
f满足这样一个性质：
这便是倍增的思想，那么如何用倍增求得LCA呢？
我们需要有几个步骤：
设树上两个节点为x和y
1.处理出每个节点从根节点开始到自身的深度dep[i]（用dfs遍历的方式即可）
2.我们假设节点的深度关系为dep[x]>dep[y]，则首先需要把x向上移动到和y同一深度的位置上（用倍增的方法移动）
3.若此时x=y，则表示x（或者y）是LCA
4.x!=y，则用倍增的方法同时移动x和y，x=f[x][j],y=f[y][j] （j=2n， 2n-1, 2n-2 ...20），一直移动直到f[x][j]=f[y][j]，停止不动，继续看下一个j
5.最后LCA则为f[x][0]
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/*
LCA（最近公共祖先）模板
倍增LCA
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
int fa[maxn][30];
int n,m,s;
int head[maxn],cnt=0;
int dep[maxn];
struct node{
int v,next;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v){
e[++cnt].v=v;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int f){
dep[u]=dep[f]+1;
fa[u][0]=f;
for (int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
}
for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v!=f) dfs(v,u);
}
}
int lca(int a,int b){
if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
for (int i=25;i>=0;i--){
int d=dep[a]-dep[b];
if(d>=(1<<i)) a=fa[a][i];
}
if(a==b) return a;
for (int i=25;i>=0;i--){
if(fa[a][i]!=fa[b][i]){
a=fa[a][i];
b=fa[b][i];
}
}
return fa[a][0];
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for (int i=1;i<=n-1;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
add(v,u);
}
dfs(s,0);
for (int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
int ans=lca(u,v);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
PS：如果要求树上任意两点距离则为d[x]+d[y]-2*d[lca(x,y)]
二.树链剖分
既然树上倍增又好打又好调，干嘛还用树链剖分？这是因为树上倍增应用没有树链剖分广，比如：
求：
在一棵树上进行路径的权值修改，询问路径权值和、路径权值极值
后两个操作可以做，但是进行路径权值修改就无法用树上倍增做。
于是，就需要用树链剖分：
指一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分将树分为多条链，保证每个点属于且只属于一条链，然后再通过数据结构（树状数组、BST、SPLAY、线段树等）来维护每一条链。
——百度百科
并且树剖的用处比倍增多，倍增能做的题树剖一定能做，反过来则否（非学不可了qwq
树链剖分分为多种，这里主要讲轻重链剖分：
概念什么的参考这个：
https://blog.csdn.net/enjoy_pascal/article/details/78277008
主要讲怎么实现：
1.预处理：
两次dfs
第一次dfs——处理出每个点的重儿子son[]，子树大小size[]，深度d[]及父节点f[]，具体实现很简单，回溯时直接比较当前子节点和重儿子子树大小关系来更新重儿子
第二次dfs——处理出每个节点所在的重链的链头
2.维护：线段树，树状数组，Splay等等。。
3.在线处理
应用：
1.求LCA：
1.若x所在的重链的链头不等于y所在的重链的链头，表明x和y不在同一条重链上
2.记x和y两点中链头的深度较深的那个点为z
3.将z调到他的链头的father
4.重复以上步骤，知道x与y的链头相等（即在同一条重链上）
5.此时x和y中深度较小的那个点即为LCA
LCA不需要求权值，直接预处理完不用维护了
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
int n,m,s;
int head[maxn],cnt=0;
int d[maxn],size[maxn],son[maxn],fa[maxn];//每个节点的深度，子树的大小，重儿子，父节点
int top[maxn];//每个点所在的重链的链头
struct node{
int v,next;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v){
e[++cnt].v=v;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs1(int x,int f,int deep){
size[x]++;
fa[x]=f;
d[x]=deep;
int maxson=-1;
for (int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v!=f){
fa[v]=x;
dfs1(v,x,deep+1);
size[x]+=size[v];
if(size[v]>maxson){
son[x]=v;
maxson=size[v];
}
}
}
}
void dfs2(int x,int tp){
top[x]=tp;
if(son[x]) dfs2(son[x],tp);
for (int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v!=fa[x] && v!=son[x]){
dfs2(v,v);
}
}
}
int lca(int x,int y){
while(top[x]!=top[y]){
if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);//保证x是所在链的链头深度较大的那个
x=fa[top[x]];
}
return d[x]<d[y]?x:y;
}
int read(){
int s=0;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9') c=getchar();
while(c>='0' && c<='9'){
s=s*10+c-'0';
c=getchar();
}
return s;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for (int i=1;i<=n-1;i++){
int u,v;
u=read();v=read();
add(u,v);
add(v,u);
}
dfs1(s,0,1);
dfs2(s,s);
for (int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
u=read();v=read();
int ans=lca(u,v);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
2.求树上路径信息。维护树上的区间信息，求区间信息，维护某一个子树信息，求子树信息
例题：
原题链接
已知一棵包含 NN 个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作 1： 格式： 1 x y z 表示将树从 x到 y结点最短路径上所有节点的值都加上 z。
操作 2： 格式： 2 x y 表示求树从 x到 y 结点最短路径上所有节点的值之和。
操作 3： 格式： 3 x z 表示将以 x 为根节点的子树内所有节点值都加上 z。
操作 4： 格式： 4 x 表示求以 x 为根节点的子树内所有节点值之和。
先进行预处理
我们先用两次dfs处理出每个节点的各种信息，还要加上一个点的id值（表示第二次dfs的时候是第几个遍历到的，比如说如果2号点是第一个遍历到的则id[2]=1）
处理完信息后，我们就把一个树分成了若干链，可以发现，在同一条链上的点的id值是连续的。
具体过程如图：
标号：
经过重链剖分后可以变为若干条链：（蓝色的表示终边，红色的点表示重儿子）
分为若干条链：（1-5-6-7）（8）（9）（2-3）（4）
重新标号
于是各点的顺序变为：
id[1]=1，id[5]=2，id[6]=3，id[7]=4，id[8]=5
id[9]=6，id[2]=7，id[3]=8，id[4]=9
然后便可用数据结构（线段树，splay，树状数组等）维护了
这里采用线段树维护
则原线段树的9个叶子结点按照顺序分别存放1,5,6,7,8,9,2,3,4
相邻的点是在一个连续的区间，比如1,5,6,7四个点
具体如何实现四个操作看代码：
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
struct node{
int v,next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],cnt=0,ct=0;
int size[maxn];//子树的节点大小
int son[maxn];//重儿子
int top[maxn];//链头
int fa[maxn];//父亲节点
int d[maxn];//深度
int id[maxn];//节点的新标号
int sum[maxn<<2],lazy[maxn<<2],a[maxn],w[maxn];
int mode,n,m,s;
void add(int u,int v){
e[++cnt].v=v;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dfs1(int x,int f,int deep){
size[x]=1;
d[x]=deep;
fa[x]=f;
int maxson=-1;
for (int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v!=f){
fa[v]=x;
dfs1(v,x,deep+1);
size[x]+=size[v];
if(size[v]>maxson){
son[x]=v;
maxson=size[v];
}
}
}
}
void dfs2(int x,int tp){
id[x]=++ct;
w[ct]=a[x];//将原节点的信息复制
top[x]=tp;
if(son[x]) dfs2(son[x],tp);
for (int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
if(v!=fa[x] && v!=son[x]){
dfs2(v,v);
}
}
}
void pushdown(int l,int r,int rt){
if(lazy[rt]){
int m=(l+r)>>1;
int d=lazy[rt];
lazy[rt<<1]+=d;
lazy[rt<<1|1]+=d;
sum[rt<<1]=(sum[rt<<1]+(m-l+1)*d) % mode;
sum[rt<<1|1]=(sum[rt<<1|1]+(r-m)*d) % mode;
lazy[rt]=0;
}
}
void pushup(int rt){
sum[rt]=(sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1]) % mode;
}
void build(int l,int r,int rt){
if(l==r){
sum[rt]=w[l];
if(sum[rt]>mode) sum[rt] %=mode;
return ;
}
int m=(l+r)>>1;
build(l,m,rt<<1);
build(m+1,r,rt<<1|1);
pushup(rt);
}
void update(int L,int R,int v,int l,int r,int rt){
if(L<=l && r<=R){
lazy[rt]=(lazy[rt]+v) % mode;
sum[rt]=(sum[rt]+(r-l+1)*v) % mode;
return ;
}
pushdown(l,r,rt);
int m=(l+r)>>1;
if(L<=m) update(L,R,v,l,m,rt<<1);
if(R>m) update(L,R,v,m+1,r,rt<<1|1);
pushup(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt){
if(L<=l && r<=R){
return sum[rt] % mode;
}
pushdown(l,r,rt);
int m=(l+r)>>1;
int ans=0;
if(L<=m) ans=(ans+query(L,R,l,m,rt<<1)) % mode;
if(R>m) ans=(ans+query(L,R,m+1,r,rt<<1|1)) % mode;
return ans;
}
/*线段树单点查询这里用不到
int querypos(int pos,int l,int r,int rt){
if(l==r){
return sum[rt];
}
pushdown(l,r,rt);
int m=(l+r)>>1;
if(pos<=m) querypos(pos,l,m,rt<<1);
else querypos(pos,m+1,r,rt<<1|1);
}
*/
int Qdis(int x,int y){//操作2
int ans=0;
while(top[x]!=top[y]){//当两个点不在同一条链上
if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更深的那个点
ans+=query(id[top[x]],id[x],1,n,1);
ans%=mode;
x=fa[top[x]];//把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点
}
//直到两个点处于一条链上
if(d[x]>d[y]) swap(x,y);//把x点改为深度较小的那个点
ans+=query(id[x],id[y],1,n,1);//这时再加上此时两个点的区间和即可
return ans%=mode;
}
void Updis(int x,int y,int k){//操作1
k%=mode;
while(top[x]!=top[y]){
if(d[top[x]]<d[top[y]]) swap(x,y);
update(id[top[x]],id[x],k,1,n,1);
x=fa[top[x]];
}
if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
update(id[x],id[y],k,1,n,1);
}
int Qnode(int x){//操作4
return query(id[x],id[x]+size[x]-1,1,n,1) % mode;//子树区间右端点为id[x]+size[x]-1
}
void Upnode(int x,int k){//操作3
update(id[x],id[x]+size[x]-1,k,1,n,1);
}
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&mode);
for (int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for (int i=1;i<=n-1;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);add(v,u);
}
dfs1(s,0,1);dfs2(s,s);build(1,n,1);//预处理
//询问
for (int i=1;i<=m;i++){
int op;
scanf("%d",&op);
if(op==1){
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
Updis(x,y,z);
}
else if(op==2){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
int ans=Qdis(x,y);
printf("%d\n",ans);
}
else if(op==3){
int x,z;
scanf("%d%d",&x,&z);
Upnode(x,z);
}
else if(op==4){
int x;
scanf("%d",&x);
int ans=Qnode(x);
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
