线性方程组的直接解法——Gauss消去法

考虑线性方程组

$$\mathrm{A}x=\mathrm{b}$$

其中，$\mathrm{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$\mathrm{b}=[b_1,b_2,\cdots ,b_n{]}^{\mathrm{T}}$。在线性代数的课程中，我们已经学习过Gauss消元法，具体操作是将矩阵A转化为“阶梯型”矩阵。为方便起见，本文仅仅讨论系数矩阵非奇异的方程组，此时，目标是将矩阵A转化为上三角矩阵，再执行回代过程，即可给出方程组的解。本文将给出在计算机上的具体操作及实例代码。

一、基本Gauss消去法

我们仅仅讨论对矩阵第一列的操作，剩余的操作可以以此类推，因而不再赘述。
在执行Gauss消去法时，我们将第一列对角元以下的元素全部变为零。记第一列消元操作后的增广矩阵为$[{\mathrm{A}}^{(1)},{\mathrm{b}}^{(1)}]$，容易知道

$$[{\mathrm{A}}^{(1)},{\mathrm{b}}^{(1)}]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{22}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ 0& a_{22}^{(1)}& \cdots & a_{2n}^{(1)}& b_2^{(1)}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& a_{n2}^{(1)}& & a_{nn}^{(1)}& b_n^{(1)}\end{array}\right]$$

其中

$$a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}{a}_{1j}，j=2,\cdots ,n$$

$$a_{i1}^{(1)}=0$$

$$b_i^{(1)}=b_i-\frac{a_{i1}}{a_{11}}{b}_1$$

观察到重复出现的结构$\frac{a_{{}_{i1}}}{a_{{}_{11}}}$，我们记它为$l_{i1}$，称为消元因子，并将它存储在原来$a_{i1}$的位置。在计算的过程中，先计算消元因子并存储在相应位置，再执行后续的算法。
对于后续部分的运算，在第k步，只要对矩阵$A^{(k-1)}(k:n,k:n)$执行相同操作即可。

二、列主元Gauss消去法

在执行Gauss消元法的过程中，如果$a_{kk}^{(k-1)}$相对于其他元素绝对值较小，则会产生较大的舍入误差，影响计算精度，为此，我们引入了列主元Gauss消去法，基于交换矩阵的行不影响线性方程组的解。
记执行完k-1步消元后的增广矩阵为$[{\mathrm{A}}^{(k-1)},{\mathrm{b}}^{(k-1)}]$。考虑第k列对角元及其以下的部分。选择绝对值最大的元所在行，与当前行执行行交换，再进行Gauss消元法。

三、计算实例

用列主元Gauss消去法解以下线性方程组：

$$\{\begin{array}{}0.5x_1+1.1x_2+3.1x_3=6,\\ 2x_1+4.5x_2+3.6x_3=0.02,\\ 5x_1+0.96x_2+6.5x_3=0.96.\end{array}$$

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{
    double A_Extended[3][4]={0.5,1.1,3.1,6,2,4.5,3.6,0.02,5,0.96,6.5,0.96};
    double X_solution[3];
    for (int i=0;i<=2;i++)
    {
        int n=i;
        for (int p=i+1;p<=2;p++)
        {
            if (fabs(A_Extended[p][i])>fabs(A_Extended[n][i]))
            {
                n=p;
            }
        }

        for (int p=i;p<=2+1;p++)
        {
            double k=A_Extended[n][p];
            A_Extended[n][p]=A_Extended[i][p];
            A_Extended[i][p]=k;
        }

        for (int p=i+1;p<=2;p++)
        {
            A_Extended[p][i]=-A_Extended[p][i]/A_Extended[i][i];
            for (int pco=i+1;pco<=2+1;pco++)
            {
                A_Extended[p][pco]=A_Extended[p][pco]+A_Extended[p][i]*A_Extended[i][pco];
            }
        }
    }
    X_solution[2]=A_Extended[2][3]/A_Extended[2][2];
    for (int i=1;i>=0;i--)
    {
        double sum=0;
        for (int k=2;k>i;k--)
        {
            sum=sum+A_Extended[i][k]*X_solution[k];
        }
        X_solution[i]=(A_Extended[i][3]-sum)/A_Extended[i][i];
    }

    cout<<X_solution[0]<<" "<<X_solution[1]<<" "<<X_solution[2]<<endl;
    return 0; 
}