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Content 搜索 DP 决策单调性优化 wqs二分 DP套DP 字符串 序列自动机 图论 最短路 最小生成树 连通性相关 prufer序列 二分图 网络流 数据结构 数学 数论基础 欧拉系列 莫比乌斯系列 高斯消元 拉格朗日插值 计算几何 杂项 反悔贪心 莫队 cdq分治 整体二分 阅读全文
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二分图 定义：可以分为两个部分的图（称为左部和右部），同一个部分内没有边。 由此得到： 二分图是可以被二染色的图。 若二分图 \(G=(V,E)\) 包含 \(C\) 个连通分量，则其二染色的方案为 \(2^C\) 。 二分图的判定 定理：一张无向图是二分图，当且仅当图中无奇环 。 推论： 二分图的 阅读全文
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网络流 一个网络 \(G = (V, E)\) 是一张有向图，有源点 \(S\) 与汇点 \(T\) ，每条有向边 \((x, y) \in E\) 都有一个容量 \(c[x, y]\) 。 一个合法的流 \(f(x, y)\) 满足： 容量限制： \(f(x, y) \leq c[x, y]\) 阅读全文
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数论基础 数论函数 数论函数是指这样一类函数：其定义域是正整数，值域是一个数集。 定义两个数论函数的加法，为逐项相加，即 \((f + g)(n) = f(n) + g(n)\) 。 定义数乘这个数和每一项都相乘，即 \((xf)(n) = x \times f(n)\) 。 常见数论函数 \[1( 阅读全文
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DP套DP DP套DP，就是将内层DP的结果作为外层DP的状态进行DP。 主要思想是一位一位确定子DP的输入，不妨考虑已经枚举了前 \(i\) 位，由于我们只对DP方程的最终结果感兴趣，故并不需要记录这前 \(i\) 位都是什么，只需要记录对这前 \(i\) 位进行转移以后，DP方程关于每个状态的当 阅读全文
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序列自动机 序列自动机（Subsequence automaton）是接受且仅接受一个字符串的子序列的自动机。 原理 状态 序列自动机一共有 \(|S| + 1\) 个状态，每个状态表示一个子序列 \(T\) 第一次在 \(S\) 出现时的末尾位置。 转移 \[\delta(u, c) = \min 阅读全文
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莫比乌斯系列 莫比乌斯函数 定义 \[\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n 含有平方因子 \\ (-1)^k & k 为 n 的本质不同质因子个数\end{cases} \]性质 Dirichlet卷积相关 \[\sum_{d | n} \mu(d) = 阅读全文
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欧拉系列 欧拉函数 欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \(1 \sim n\) 内与 \(n\) 互质的数的个数。 性质 欧拉函数是积性函数，特别的有 \(\varphi(2n) = \varphi(n)\) 。 \(\sum_{d | n} \varphi(d) = n\) 。 证明： 阅读全文
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Prufer 序列 Prufer 序列可以将一个带标号 \(n\) 个结点的树用 \([1, n]\) 中的 \(n - 2\) 个整数表示，也可以理解为完全图的生成树与数列之间的双射。 建立过程：每次选择编号最小的叶子节点并删掉，然后在序列中记录它连接的节点标号，重复 \(n - 2\) 次后结束 阅读全文
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wqs二分 用来处理一类带有限制的问题，如恰好选 \(k\) 个，本质是通过二分来规避这个选取数量的限制。 使用前提：原问题具有凹凸性。设 \(g_i\) 表示选 \(i\) 个物品的答案，那么所有 \((i, g_i)\) 点组成一个凸包，满足 \(g'(k)\) 单调。 这类题目通常有以下特点： 阅读全文