泰勒公式的理解和快速推导，格雷戈里-牛顿插值公式的简单推导。其实，泰勒公式本质就是用多项幂级数逼近一个单变量函数，也可以说是使任何单变量函数都可以展开成幂级数。假设我们在取点时，特意使任意相邻两点之间的水平间距都相等。佩亚诺型余项和拉格朗日余项。泰勒级数和泰勒展开式，根据上述推导，实际上当我们已知无数个点，即时，泰勒公式具有无穷项，它就像幂级数,称之为泰勒级数。但是在得到公式的过程中，我们却没有去讨论级数的是否收敛。泰勒展开式是特殊的泰勒级数，或者说是收敛情况下的泰勒级数，其具有收敛区间，在收敛区间内，和一定存在。麦克劳林公式
泰勒公式的理解和简单推导，格雷戈里-牛顿插值公式的简单推导
前言：重在记录，可能出错。
一、格雷戈里-牛顿插值公式的简单推导
1.插值：函数的图像一般由点组成，那么我们可以通过已知的点来找另一个函数近似等于原函数。很明显，已知点越多，就越逼近原函数。
其实，泰勒公式本质就是用多项幂级数逼近一个单变量函数，也可以说是使任何单变量函数都可以展开成幂级数。
牛顿插值：这个一般会在大学的计算方法、数值分析等课程中学到。牛顿插值是插值方法的一种。
接下来，开始牛顿插值的无敌推导：
(1).如果只有一个点A(x0,f(x0))，那么我们找的近似函数即为f(x)=f(x0)，代入点A符合。
(2).如果有两个点A(x0,f(x0))、B(x1,f(x1))，我们在f(x)=f(x0)的基础上再加上一项，代入点A、B均符合即可。设近似函数为:
f(x)=f(x0)+C(x)C(x)=f(x)−f(x0)C(x0)=f(x0)−f(x0)=0=a1(x−x0)，写出大概形式C(x1)=f(x1)−f(x0)=a1(x1−x0)a1=f(x1)−f(x0)x1−x0C(x)=f(x1)−f(x0)x1−x0(x−x0)
因此，用两个点找的近似函数为：
f(x)=f(x0)+f(x1)−f(x0)x1−x0(x−x0)
(3).同理，三个点：
C(x0)=f(x0)−f(x0)−f(x1)−f(x0)x1−x0(x0−x0)=0C(x1)=f(x1)−f(x0)−f(x1)−f(x0)x1−x0(x1−x0)=0⎫⎪⎬⎪⎭C(x)=a2(x−x0)(x−x1)，写出大概形式C(x2)=f(x2)−f(x0)−f(x1)−f(x0)x1−x0(x2−x0)=a2(x2−x0)(x2−x1)a2=f(x2)−f(x0)−f(x1)−f(x0)x1−x0(x2−x0)(x2−x0)(x2−x1)=f(x2)−f(x0)x2−x0−f(x1)−f(x0)x1−x0(x2−x1)
因此，用三个点找的近似函数为：
f⎛⎜⎝x⎞⎟⎠=f⎛⎜⎝x0⎞⎟⎠+f(x1)−f(x0)x1−x0⎛⎜⎝x−x0⎞⎟⎠+f(x2)−f(x0)x2−x0−f(x1)−f(x0)x1−x0x2−x1(x−x0)(x−x1)
(4).总结，若有n+1个点：
an=f(xn)−a0−a1(xn−x0)−⋯−an−1(xn−x0)(xn−x1)⋯(xn−xn−2)(xn−x0)(xn−x1)⋯(xn−xn−1)
近似函数为：
f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+⋯+an(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)
注：其中a0⋯an均为常数，为了通俗一些，就不再说牛顿插值中的差商了，毕竟重点不在这儿。
这就是简化通俗版的非常出名的格雷戈里-牛顿插值公式了。
二、泰勒公式的理解和简单推导
1.泰勒公式：
(1).假设我们在取点时，特意使任意相邻两点之间的水平间距都相等，等于Δx，即xn+1−xn=Δx。此时，再看a0⋯an：
a1=f(x1)−f(x0)x1−x0=f(x0+Δx)−f(x0)Δxa2=f(x2)−f(x0) − f(x1)−f(x0) x1−x0 (x2−x0)(x2−x0) (x2−x1) =f(x0+2Δx)−f(x0) − f(x0+Δx) − f(x0) Δx (2Δx)2Δx Δx =f(x0+2Δx) − 2f(x0+Δx) + f(x0)2Δx Δx =f(x0+2Δx) − f(x0+Δx) Δx − (f(x0+Δx) − f(x0))Δx2Δx
注：同样，为了通俗一些，就不再说差分了，毕竟重点不在这儿。
当Δx→0时，我们发现(⊙ₒ⊙)!!
x0=x1=x2=x3=⋯=xn
并且n!an就是是函数在x=x0处导数的定义。
a1是f(x0)的一阶导，2!a2是f(x0)的二阶导，⋯，n!an是f(x0)的n阶导
根据规律，我们大胆得到公式：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn+1(x)Rn+1(x)是余项
这就是n阶泰勒公式
(2).佩亚诺型余项和拉格朗日余项：
佩亚诺型余项：泰勒公式的定性形式:用于求未定式极限及估计无穷小阶数等问题
Rn+1(x)=O((x−x0)n)
拉格朗日余项：泰勒公式的定量形式：用于求近似计算函数值等问题
Rn+1(x)=f(n+1) (ξ)(n+1)!(x−x0)n+1，ξ介于x0和x之间
(3).泰勒级数和泰勒展开式：
根据上述推导，实际上当我们已知无数个点，即n→∞时，泰勒公式具有无穷项，它就像幂级数,称之为泰勒级数。但是在得到公式的过程中，我们却没有去讨论级数的是否收敛。这里需要补充的是，泰勒展开式：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+⋯
泰勒展开式是特殊的泰勒级数，或者说是收敛情况下的泰勒级数，其具有收敛区间，在收敛区间内，和一定存在。
(4).麦克劳林公式：泰勒公式的一种特殊形式。
当x0=0时，泰勒公式变为：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn+1(x) Rn+1(x)是余项
这就是麦克劳林公式，在求极限时，经常会用到。
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