高阶函数和church计数

在SICP的第二章的2.06有一个church计数的题目，非常有意思。  题目是这样的：

 

定义0为：

(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))

定义加一操作为：

(define (add1 n)
  (lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

给出1和2的定义。

one就是(add-1 zero),为：

(lambda (f) (lambda (x) (f x)))

one跟zero的差别就是对x多了一次f处理，可以猜一下，two应该是：

(lambda (f) (lambda (x) (f (f x))))

tow就是对x做了2次f处理。如果用替换模型，结果也确实如此。

按照这个模型，用church计数方法，整数n应该有n个f:

(lambda (f) (lambda (x) (f (f ... (f (f x))))

题目提出要实现church计数的加法，两个church计数相加：

(add n1 n2)

就是f函数的次数相加。

例如one和two相加，就是要把(f x) + (f (f x))弄成 (f (f (f x)))。

可以看到，如果能把(f x)中的x换成(f (f x))就可以了。而

(f (f x)) = 
((lambda (x) (f (f x))) x) = 
(((lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))) f) x) = 
((two f) x)

那要把n2加到n1上，就是 

(f ((two f) x)) = ((one f) ((two f) x))

最后加上f和x的参数，就成了：

(lambda (f) (lambda (x) ((one f) ((two f) x))))

所以church计数的加法就是

(define (add n1 n2)
  (lambda (f) (lambda (x) ((n1 f) ((n2 f) x)))))

church计数看上去没什么用，但是如果实现了church计数的加法，可以得到对函数的重复调用的高阶函数。