BSGS
bsgs算法,又称大小步算法(某大神称拔山盖世算法)。
主要用来解决 A^x=B(mod C)(C是质数),都是整数,已知A、B、C求x。(poj 2417 Discrete Logging)
具体步骤如下:
先把x=i*m-j,其中m=ceil(sqrt(C)),(ceil是向上取整)。
这样原式就变为A^(i*m-j)=B(mod C),
再变为A^j×B=A^(m*i) (mod C)。
枚举j(范围0-m),将A^j×B存入hash表
枚举i(范围1-m),从hash表中寻找第一个满足A^j×B=A^(m*i) (mod C)。
此时x=i*m-j即为所求。
在网上看到的其他题解大多用的是x=i*m+j,也可以做,只是会牵扯的求逆元,所以比较麻烦。使x=i*m-j就可以轻松避免这个问题了。
那么肯定有人会有疑问为何只计算到m=ceil(sqrt(C))就可以确定答案呢?
x=i*m-j 也就是x 的最大值不会超过p,那超过p的怎么办 ?
有一个公式 a^(k mod p-1)=a^k (mod p) 这个公式的推导需要用到费马小定理
k mod p-1可以看做 k-m(p-1) ,原式可化成 a^k/(a^(p-1))^m=a^k (mod p)
根据费马小定理 a^(p-1)=1 (mod p) 其中p为质数 ,a,p 互质,可得a^k/1^m=a^k (mod p) a^k=a^k (mod p) 得证。
POJ上用G++来测,否则会有编译错误!!!
裸体
O(∩_∩)O~ 代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> using namespace std; typedef long long LL; LL a,b,c; map<LL,LL>mp; LL qsm(LL m) { LL n = a; if(m==0) return 1; LL t=qsm(m/2); t=1LL*t*t%c; if(m&1) t=1LL*t*n%c; return t; } int main() { //a^im=b*a^j(mod c) while(scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF) { mp.clear(); if(a%c==0) { printf("no solution\n"); continue; } LL m=ceil(sqrt(c)); LL ans; for(LL j=0; j<=m; j++) { if(j==0) { //当j=0时,a^j=1, b*a^j=b ans=b%c; mp[ans]=j; continue; } ans=(ans*a)%c; //括号里的ans指a^(j-1)*b,(a^(j-1)*b)*a=(a^j)*b mp[ans]=j; //在((a^j)*b)%c的位置记录下j } LL t=qsm(m);//t=a^m ans=1; bool flag=false; for(LL i=1; i<=m; i++) { ans=(ans*t)%c;//括号里的ans指的是((a^m)^(i-1))*(a^m)=(a^m)^i=a^(im) if(mp[ans]) { LL t=i*m-mp[ans];//t=x,因为我们设的x=i*m-j printf("%lld\n",t); flag=true; break; } } if(!flag) printf("no solution\n"); } return 0; }
自己选的路,跪着也要走完!!!