2023 年 8月随笔档案 - wscqwq

炸弹

摘要：# [[SNOI2017] 炸弹](https://www.luogu.com.cn/problem/P5025) ![image-20230831212157423](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/3107168-202308312

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0

可到达的首都

摘要：![image-20230831191250541](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/3107168-20230831191251731-1503433890.png) 考虑无环/大于1的强连通分量的情况。此时仅需让首都连向除自己外入度

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0

记忆化搜索

摘要：一般用于不好写状态的情况。 1 四维状态分别表示4种卡片使用的次数，然后直接考虑使用任意一张。 2 直接DP难度大，于是记忆化搜索，最大值从相邻四个点转移过来。 3 通过分析可知每个蓄水厂能运送到的沙漠地区一定是区间，用记忆化搜索预处理出来，然后使用经典贪心解决问题。总结顺序递推难度大的，不妨考

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0

数位

摘要：# [母题](https://www.cnblogs.com/wscqwq/p/17660249.html) 考虑经典的前缀和思维，求出

0 \sim r

，求出

0 \sim l - 1

即可。考虑先爆搜，分别记录当前处理到的位数，前导零，是否有限制，要求数的个数即可。由于这些信息都很小，把它们

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0

区间DP

摘要：母题令

f [i, j]

表示区间内的信息。考虑转移就是

f [i, j] = f [i, k] + f [k + 1] [j] + m e r g e ([i, k], [k + 1, j])

，merge 可以用前缀和。

1, 2, 3 \in

动态规划的题目(CSDN) 1（NO.4）考虑若两端点相等，那么可以连着，即

6

0

背包

摘要：母题1：01背包考虑

f [i, j]

表示前

i

个物品体积为

j

的答案，答案可以从前

i - 1

个物品继承或选取当前物品，

f [i, j] = max (f [i - 1] [j], f [i - 1] [j - v] + w)

。母题2：完全背包（from 1）状态同上，转移本来应该为

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0

状压DP总结

摘要：动态规划-状压类-总结状压类的题，一般都需要用到二进制的性质。（用到组合数概率也不小）早期CSDN blog 国王考虑用二进制表示摆放方式，然后使用位运算判断攻击。 AT199E Permutation 有一位很小，状压，状态类似于母题。 AT232F 有交换操作，所以与逆序对相关，然后数学讨

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0

计数DP总结

摘要：动态规划-计数类-总结计数类的题，一般都需要用到排列组合的知识，较常用的有阶乘、组合数（一般必不可少）、容斥原理、全集-补集=所求集。背包类母题整数划分本题虽然简单，但是却无意间将计数类 DP 与背包结合在一起，状态

f [i] [j]

表示用前

i

个数选到

j

的方

202

0

树形DP总结

摘要：推荐博客高度总结（三大类）：https://blog.csdn.net/m0_73386348/article/details/131838916 动态规划-树形类-总结树形类的题，一般都需要用到子树的信息。树形 DP 分为两类，一类是换根，一类是状态表示的是一棵子树的信息。 tip 树的直径

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小K的技术

摘要：# ****小K的技术**** ![image-20230831084505028](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/3107168-20230831084506062-1444145505.png) ![image-202308310

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乘坐地铁

摘要：# **乘坐地铁** ![image-20230830200327241](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/3107168-20230830200330457-1350988644.png) ![image-20230830200410

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0

bbb

摘要：![image-20230830083120095](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/3107168-20230830083123144-1184368596.png) ![image-20230830083148768](https:

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0

齐头并进

摘要：# **齐头并进** 一张

n

点

m

边的无向图，一个人在这张图上走最短路，另一个人在补图上走，要求二人中途不能同时在一个点（除起点、终点）。问两人最短路的较大值。

2 \leq n \leq 400, 0 \leq m \leq n (n - 1) / 2

考虑到如果原图没有边

(1, n)

，那么补图一定有；

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0

aaa

摘要：# **The Captain** 给定平面上的

n

个点，定义两点的距离为

min (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})

，求从

1 \sim n

的最小费用。我们可以忽略

min

，两个点分别建立

x, y

，肯定会走较小的边。然后我们对

x

排序，只需对相邻的点连边，那么不相邻

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0

最短缩减路径

摘要：# **最短缩减路径** 给定一张无向图，你可以让任意一条边的权值减半，求起点到终点的最短路径。点数

\leq 500

；边数

\leq 50000

；

1 \leq

边权

\leq 500000

，且均为偶数。本题有两种思路： 1. 分层图，就只有一条边，只需要分两层，是比较简单的模型应用。 2

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0

有依赖的背包问题

摘要：# [10. 有依赖的背包问题 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/description/10/) 考虑树形 `DP`。假设我们对于

u

，已经计算完毕子节点

v

，那么我们应该如何合并方案呢？有一种方式是指数级枚举子节点的

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0

多重背包

摘要：# [6. 多重背包问题 III - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/6/) ![image-20230827203618431](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/310

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0

粉刷匠

摘要：# 粉刷匠有

n

条木板需要被粉刷。每条木板被分为

m

个格子。每个格子要被刷成红色或蓝色。每次粉刷，只能选择一条木板上一段连续的格子，然后涂上一种颜色。每个格子最多只能被粉刷一次。如果只能粉刷

T

次，他最多能正确粉刷多少格子？一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色，就算错误

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0

花神

摘要：# [P4317 花神的数论题](https://www.luogu.com.cn/problem/P6218) 仅需记录一的个数，然后判断一下

0

。 # [code](https://www.luogu.com.cn/record/122951584)

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round

摘要：# [P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S](https://www.luogu.com.cn/problem/P6218) 与[P2602 [ZJOI2010\] 数字计数](https://www.luogu.com.cn/problem/P2602)区别：记录

4

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数字计数

摘要：# [P2602 [ZJOI2010\] 数字计数](https://www.luogu.com.cn/problem/P2602) 可以分开考虑每种数，然后对于每种数，利用前缀和的思想，

f (l, r) = f (r) - f (l - 1)

，我们只要求出

0 \sim n

之间的个数即可。我们考虑爆搜，需要

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tran

摘要：# [[ABC317F] Nim](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc317_f) 这个问题可以通过数位动态规划（DP）来解决。我们考虑以下的数位DP来确定从二进制表示的最低位开始的下一位： $\mathrm{DP}[n][f_1][f_2][f_3][

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点分治板题

摘要：# [点分治](https://www.acwing.com/problem/content/254/) 点分治的思想：每次选定一个点，然后分别在它的子树内求解①，再计算跨越子树的情况，考虑当前点和每棵子树内的点②以及两两子树内的③。（有点绕） ![image-20230824163215440](

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0

RatingEstimator

摘要：# [[ABC292Ex] Rating Estimator](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc292_h) 题意可以转换为： 1. 单点修改。 2. 查询 1. 如果不存在某一个前缀平均值不低于

B

，则输出整体平均值； 2. 否则，输出第一个不低于

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0

translate

摘要：# [[ABC297G] Constrained Nim 2](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc297_g) **`SG`函数**是本篇文章的先决条件。如果您不了解它，请参阅以往的ABC问题的解析文章。（类似问题：[ABC255-G](https://a

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0

SG函数

摘要：# [SG 函数](https://www.acwing.com/problem/content/895/) 先定义，`SG` 函数对应有向无环图（`DAG`）上的一种游戏：有一枚棋子在起点上，每次可以沿着边往后移动，谁无法移动谁就输了。公平组合游戏可以转换成他，只需要将局面中的所有状态看成一个节

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0

nim游戏

摘要：# [nim 游戏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2197) 给出结论：将所有数异或，若结果为

0

，先手必败，否则先手必胜。设异或值为

x

。证明分三步： 1. 全

0

局面先手必败。 2. 对于当前局面若

x \neq 0

，存在**某种**方式

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0

[ABC305G]

摘要：# [[ABC305G] Banned Substrings](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc305_g) 考虑到字母只有 `a,b`，且限制串的长度不超过

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，可以想到以当前处理到的位数、结尾的字符情况为状态动态规划。可以指记录

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位。处

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AC自动机

摘要：# [AC自动机](https://www.acwing.com/problem/content/description/1284/) 本质上是 KMP+Trie。每个节点存储的

n e

类似于 `KMP`，表示最长公共前后缀（前缀可以是从根出发的任意一条路径）。代码可以从 `KMP` 一一对应

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0

[ABC314G]

摘要：# [[ABC314G] Amulets](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc314_g) 考虑如果

k

是固定的，可以二分答案，然后暴力 `check`。而本题显然不行。有一个简单的性质：如果我们知道了最多可以打几只怪兽，那么带某种护身符的贡献是

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0

[ABC314F]

摘要：# [A Certain Game](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc314_f) 关于题目中的样例解释翻译如下：将队伍中的球员编号表示为

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}

的队伍称为队伍 $ \lbrace\ x_1,\ x_

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0

[ABC314E]

摘要：# [**[ABC314E] Roulettes**](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc314_e) 令

f_{i}

表示现在已经有

i

分，要达到

m

分需要的最小期望代价。答案为

f_{0}

。 $\Large f_x=\min_{i=1}^

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0

[ABC313E]

摘要：# [**[ABC313E] Duplicate**](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc313_e) https://www.luogu.com.cn/blog/zyc139449/solution-abc313-e # [AC](https://www

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0

OddOrEven

摘要：# [**D - Odd or Even**](https://atcoder.jp/contests/abc313/tasks/abc313_d) 考虑

n = k + 1

。下面的求和均为奇偶性的求和。此时我们分别询问：

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}

$a_2+a_3+\dots

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0

Ai+Bj+Ck=X

摘要：# [**G - Ai + Bj + Ck = X (1 <= i, j, k <= N)**](https://atcoder.jp/contests/abc315/tasks/abc315_g) 考虑

n

的范围，枚举

i

。于是就转换成求解

B j + C k = X - A i

。这是一个扩展欧几

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0

扩展欧几里得算法

摘要：裴蜀定理对于任意正整数

a, b

，记

g = (a, b)

，一定存在整数

x, y

，使得

a x + b y = g

，且能凑出的数一定是

g

的倍数。（扩欧算法能直接解决的问题）首先由于

a, b

都是

g

的倍数，所以能凑出的数必定是

g

的倍数。关键

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0

Shortcuts

摘要：# [**Shortcuts**](https://atcoder.jp/contests/abc315/tasks/abc315_f) 关键在于要根据

2

的幂次增长的速度的性质。发现如果不跳过任何一个点，那么最坏情况下两两是

(0, 0), (10^{4}, 10^{4})

循环的，结果大概是 $n

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0

ABC351D_MagicalCookies

摘要：# [**Magical Cookies**](https://atcoder.jp/contests/abc315/tasks/abc315_d) 根据问题的描述，如果在判断同一行或同一列的所有饼干是否具有相同颜色时，选择了时间复杂度为

Θ (H)

或

Θ (W)

的方法，

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0

CF1738C_EvenNumberAddicts

摘要：# [CF1738C Even Number Addicts](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1738C) 考虑综合只跟每个数的奇偶性有关，就先统计奇数个数及偶数个数。有DP和数学分类讨论两种方法。具体看题解吧：https://www.luogu.com.

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0

可怜的狗狗

摘要：# [可怜的狗狗](https://www.luogu.com.cn/problem/P1533) 考虑到不包含，那么左右端点一定同时递增（不递增就要考虑莫队），那么插入、删除操作的次数固定。我们可以直接用平衡树搞查询第

k

值，注意移动端点时必须先插入再删除，不然会出现删除的数还没插入的情况。

7

0

优美的序列

摘要：# [优美的序列](https://www.luogu.com.cn/problem/P8895) 考虑放在中间一定是最小值，且只能有一个。不止一个无解。若存在**出现次数

> 2

的数**，答案为

0

。因为出现次数只要达到了两个以上，那么两边至少有一边有两个数，而条件是严格的。其他情况

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0

鬼子进村

摘要：# [P1503 鬼子进村](https://www.luogu.com.cn/problem/P1503) 开 `set` 维护即可。先插入

0, N + 1

维护边界。 `D`：插入即可。 `R`：开个栈将所有插入操作存起来，每次删除栈顶。 `Q`：先看是否在集合中，在就是

0

，否则找前驱后继

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0

[ZJOI2007]报表统计

摘要：# [P1110 [ZJOI2007] 报表统计](https://www.luogu.com.cn/problem/P1110) 考虑到操作 `MIN_SORT_GAP` 比较简单，用一个 `set` 维护前驱后继即可，重点关注 `INSERT`，`MIN_GAP`。发现我们可以先开一个单链表来

6

0

丑数

摘要：# [丑数](https://www.luogu.com.cn/problem/P2723) 考虑用堆来维护。每次删去最小值后，插入最小值乘以其他的素数。考虑去重，根据

2 \times 3 \times 2 = 2 \times 2 \times 3

，每次记录某个数上一个数是什么，每次乘的质因数都是按

6

0

平衡树

摘要：# [【模板】普通平衡树](https://www.luogu.com.cn/problem/P3369)&[【模板】普通平衡树（数据加强版）](https://www.luogu.com.cn/problem/P6136) 考虑最简单的平衡树——Treap（Tree+heap），从它的名字上就可以

7

0

数字游戏

摘要：# [P1043 [NOIP2003 普及组] 数字游戏](https://www.luogu.com.cn/problem/P1043) 首先考虑链的情况怎么做。发现就是划分

m

次，直接考虑类似于[乘积最大](https://www.luogu.com.cn/problem/P1018)的

6

0

乘积最大

摘要：# [P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大](https://www.luogu.com.cn/problem/P1018) 我们直接先考虑 `DP`。令

f [i] [j]

表示前

i

个数，放置

j

个乘号的答案。我们考虑转移最后一个乘号的位置，设最后一个乘号放在第 $

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0

树上计数2

摘要：# [树上计数2]([2534. 树上计数2 - AcWing题库](https://www.acwing.com/problem/content/2536/)) 我们先考虑一般的问题，即序列上的问题。发现这题是HH的项链。然后我们考虑树上怎么转换成序列上。我们使用欧拉序（对于每个点，在进入和

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0

tarjan(dcc-e)

摘要：# [冗余路径](https://www.acwing.com/problem/content/397/) 考虑无向图的边双连通分量。这个算法也叫 `Tarjan` 算法，且与有向图的强连通分量差不多。边双是指图中任意两点间都存在两条不相交的路径（或删去任意一条边后图仍然连通）。桥：切去这条边

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0

bellman-ford

摘要：# [有边数限制的最短路](https://www.acwing.com/problem/content/855/) 有边数限制，只能用bellman-ford算法求解。方法十分暴力，迭代

n

次，每次用所有边进行一次更新，当迭代了

k

次时，恰好经过了不超过

k

条边。而若第

n

6

0

观光

摘要：# [观光](https://www.acwing.com/problem/content/385/) 考虑对于每个点维护两个值：最短路和次短路。记录二者的个数，最后只需判断次短路是否是最短路恰好加上一即可。由于图不存在负权边，所以不存在呈环状的更新方式。所以我们实现时可以考虑将一个点拆成两个

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0

Tarjan(scc)

摘要：`Tarjan` 算法之一是一个强连通分量算法，可以找出所有的强连通分量，时间复杂度线性。算法中对于搜索树（如下图）作了如下定义： ![image-20230804164723082](https://img2023.cnblogs.com/blog/3107168/202308/3107168-

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0

LomsatGelral

摘要：# [Lomsat gelral](https://www.luogu.com.cn/problem/CF600E) 我们首先考虑暴力合并。暴力就是每次对于一个点

x

，暴力地对其子树再做一遍深度优先遍历求解，然后算上自己的答案。这样做的复杂度是

O (n^{2})

。考虑如果将每个点对应的子树的

7

0

梦幻布丁

摘要：# [2154. 梦幻布丁](https://www.acwing.com/problem/content/2156/) 考虑先维护连续段数。我们可以先搞几个单链表，每个单链表存储的是每种颜色处于的所有位置，由于连续段数等于相邻两数不同的个数，我们可以先算出初始的情况，然后对于每次修改，暴力的将一

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0

ORSum

摘要：# [ABC291G OR Sum](https://atcoder.jp/contests/abc291/tasks/abc291_g) 题意：有两个长度为

N

的序列

A, B

，可以给

A

序列向左循环移动若干位，求

\sum (A_{i} | B_{i})

的最大值。$N\le 5\time

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0

TeleporterAndClosedOff

摘要：# [Teleporter and Closed off](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc291_f) ## 思路首先考虑从起点和终点分别 `bfs`（终点的 `bfs` 定义为从其他所有点到他，即在反向图上），预处理出两个距离，可以在 $O(nm)

6

0

历史研究

摘要：# [历史研究](https://www.acwing.com/problem/content/description/2525/) ## 思路考虑到维护最大值的话，删除操作不太方便，我们考虑回滚莫队。我们对于左端点在一个块内的情况一起处理，分两类讨论： 1. 右端点也和左端点在一个块内，那么直

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0

数颜色

摘要：# [[国家集训队] 数颜色 / 维护队列](https://www.luogu.com.cn/problem/P1903) ## 思路考虑到除了修改操作和数据范围以外，其余与[[SDOI2009] HH的项链](https://www.luogu.com.cn/problem/P1972)一样。

7

0

incrementOfCoins

摘要：# [[ABC184D] increment of coins](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc184_d) ## 思路设

f (A, B, C)

表示三种金币有

A, B, C

时要到达

100

的概率。 $f(A,B,C)=(\dfrac{A}

12

0

ThroughPath

摘要：# [[ABC187E] Through Path](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc187_e) ## 思路我们考虑利用 `dfs` 序将树转换成一个序列（树链剖分中的一小部分），如下图所示： ![](https://cdn.luogu.com.cn

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0

XorDistances

摘要：# [[ABC202E] Count Descendants](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc202_e) 考虑一个判断某个点

v

是否为另一个点

u

后代的方法：令

d f n_{v}

表示

v

的

d f s

序，令

o u t_{u}

表示离

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0

XorDistances

摘要：# [[ABC201E] Xor Distances](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc201_e) 首先，根据

a \oplus a = 0

，一条路径 $dis(u,v)=(dis(1,\text{LCA})\oplus dis(1,u))\oplus(

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0

RegularTriangleInsideaRectangle

摘要：# [[ABC292F] Regular Triangle Inside a Rectangle](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc292_f) 首先，最大的正三角形的三个顶点，一个是矩形顶点，另两个在边上，如图。 ![](https://cdn.luo

7

0

TripleIndex

摘要：# [[ABC293G] Triple Index](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc293_g) 借本题来描述一下莫队算法。莫队算法是将询问离线排序，使得时间复杂度控制在

n \sqrt{n}

的量级。首先考虑暴力做法，每次对于一个询问，将询问中的

17

0

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