2023 年 4月随笔档案 - wscqwq

小木棍

摘要：题目传送门这题有四个剪枝：优化搜索顺序，将木棍长按照从大到小排序枚举木棍时保证编号递增。剪掉冗余搜索状态，同一组内的重复元素直接跳过如果这根木棍是这一组的第一根或最后一根，搜索完直接返回。结论4的证明：如果当前木棍是第一根，下面的没有使用过的木棍都是等效的，如果这里不行，那么下面的一定也

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斜率优化

摘要：重点讲讲斜率优化的套路。首先需要将式子化为

y = k x + b

的形式，其中

y, x

为一个关于变量

j

的式子，

k

为一个关于常量

i, b

的式子。然后根据

x, k

的单调性考虑是二分还是直接单调。注意如果求最小值是下凸包，最大值是上凸包（最小值是直线从下面往上靠，最大值反之）

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特别行动队

摘要：题目传送门其实这题直接推式子，不需要转换，还是很简单的。考虑用

f_{i}

表示前

i

名士兵修正战斗力之和的最大值。令

X = s u m_{i} - s u m_{j}

，易得

f_{i} = f_{j} + a X^{2} + b X + c

。将

X = s u m_{i} - s u m_{j}

代入得 $f_i=f_j+a(sum_i-sum_j)

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运输小猫

摘要：题目传送门考虑每只小猫是否能被接到、等待时间，其实在于

s t a r t + d_{2} + d_{3} + \dots + d_{i}

的值，如果

\geq t_{i}

，即出发时间加上这些距离晚于

t_{i}

。可以将

d

移过来，那么每只小猫都可以用一个数

a_{i}

来衡量了。对于

a

排序，即可以划分成最多饲养员数

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任务安排3扩展

摘要：这道题还可以继续加强，如果

t, c

都可以是负数，那么二维的点就可以在中间加，动态维护有序序列，平衡树。

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任务安排3

摘要：题目传送门考虑这里的斜率

t_{i} + s

并不单调，所以用二分解决。 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define L(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i) #define R(i,l,r) for(int i=r;i

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任务安排2

摘要：承接上文任务安排1。考虑优化转移。对方程变形得到

f_{j} = (s + t_{i}) c_{j} + f_{i} - s c_{n} - t_{i} c_{i}

，我们可以发现形如一个

y = k x + b

的解析式。然后我们就可以维护一个下凸包，又因为横坐标是单调的，斜率也是单调的，每次都可以把队首的一些点删掉，就是队首的斜率

\leq

当前的

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任务安排1

摘要：题目传送门一个重要思想：当前的

s

准备时间对之后的影响可以用后面所有的和

\times s

。利用上述性质，可以提前计算每个分组中

s

的贡献，消除后效性。

f [i]

表示以

i

为一段的末尾的答案。由此可以得出方程是 $f[i]=\min f[j]+(sumc[i]-sumc[

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再探石子合并

摘要：题目传送门考虑朴素的 dp 方程

f [i] [j] = min f [i] [k] + f [k + 1] [j] + s u m [j] - s u m [i - 1]

。先证明四边形不等式，证明决策单调性的范围

p [i] [j - 1] \leq p [i] [j] \leq p [i + 1] [j]

。复杂度是因为中间都消掉了，所以就是状态数 $O(n^

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多重背包单调队列

摘要：考虑思考一下

f

最暴力的转移。设

v, w, s

为当前处理的物品的体积、价值、数量。然后体积

j \mod v = r

。显然是 $f[i][j]=\min f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,f[i-1][j-3v]+3w,\dots,f[i-1][

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玩具装箱

摘要：题目首先这道题与诗人小G 有很大的相同点。其实就是超级弱化版（弱化数据，弱化

p = 2

）。考虑使用斜率优化，式子

f_{i} = f_{j} + (s_{i} + s_{j} + j - i - 1 - L)^{2}

，对其进行变形

a_{i} = s u m_{i} + i, b_{i} = s u m_{i} + L + 1 + i

，则 $dp_i=dp_j+(a_i-b_j)

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0

数的乘积

摘要：数的乘积考虑用除法解决这个问题。因为如果这些数的乘积超过了

10^{18}

，那么用

10^{18}

依次除以这些数肯定存在一个时刻变为

0

。所以就可以在不使用 __int128 这类黑科技的情况下方便的判断。注意如果有一个数是

0

应该立刻停下输出

0

，不然可能出现 Float

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常见OJ错误返回

摘要：Float Point Exception 出现

\div

或

\mod 0

。

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诗人小G

摘要：诗人小G 考虑普通的 DP。令

f_{i}

表示划分前

i

个句子的最小不协调度。可以用前缀和处理，易得方程

f_{i} = f_{j} + | s_{i} - s_{j} + i - j - 1 - l |^{p}

，注意这里空格是需要考虑长度的，也就是

j + 1 \sim i

成立了一段，那么应该是

i - (j + 1) + 1 - 1 = i - j - 1

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四边形不等式

摘要：核心其实是决策单调性。四边形不等式基本概述四边形不等式本质是在决策时利用单调性进行的一种优化，通常与动态规划结合例题石子合并我们先看一道非常经典的问题：在一个园形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次

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KMP

摘要：2021 年就学了KMP，2023写一篇详细点的总结。首先我们需要理解朴素做法。枚举开始匹配的位置

i

，和匹配串中的每个位置逐一匹配，失败就停止移动继续匹配，最坏情况复杂度高达

O (m n)

上述做法的缺陷就在于没有充分利用信息，比如匹配失败时就从头开始。我们考虑一次匹配中，如果失败了，那

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04 2023 档案

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