拓扑排序

拓扑排序-总结

母题

给定一个 DAG（有向无环图），如果从 $u$ 到 $v$ 有边，则认为 $v$ 依赖于 $u$。如果 $u$ 到 $v$ 有路径（$u$ 可达 $v$），则称 $v$ 间接依赖于 $u$。我们将图中的顶点以线性方式进行排序，使得对于任何的顶点 $u$ 到 $v$ 的有向边 $(u,v)$，都可以有 $u$ 在 $v$ 的前面。

拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点。

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/B3644

https://www.luogu.com.cn/record/178163992

习题

福建省历届夏令营-排序

核心思路是对于每次操作都进行一次拓扑排序，然后看是否出现循环依赖或者无法确定（即 $maxqsize>1$）。

Minimum Longest Trip G

拓扑排序求最长路，然后进行分层，按照拓扑排序的逆序操作进行第二次DP即可。

[CSP-S2020] 函数调用

本质上函数的嵌套调用就是一个DAG，利用拓扑排序考虑 add 和 mul 运算即可。考虑母子节点的计算关系。

AcWing 164. 可达性统计

还是利用拓扑排序的逆序DP，每个位置 $d{p}_{i,j}$ 记录 $i$ 到 $j$ 是否可达。利用 bitset 的按位或优化32倍常数。

[AcWing 477. 神经网络](AcWing 477. 神经网络)

直接按照要求按照拓扑序计算。

车站分级

考察虚拟节点优化 $O(n^2)$ 建边 ->$O(n)$。

总结

总体分两类：

1. 按照拓扑序计算答案。
2. 按照逆拓扑序计算答案。

可能要做多次，或者像函数调用这样抽象，然后重点考察如何合并信息。也可以与其他数据结构，如 bitset 一起使用。或者同时运用两类方法进行DP。

边数过多可以考虑车站分级做法。