沙拉公主的困惑

https://www.luogu.com.cn/problem/P2155

首先求 $\varphi (m!)$。

然后要求 $[1,n!]$ 中与 $m!$ 互质的数，考虑到 $gcd(a,b)=(a+b,b)$，那么我们可以增加若干倍的 $m!$，即 $(x,m!)=(x+k\times m!,m!)$，那么可增加的数有 ${\displaystyle \frac{n!}{m!}}-1$ 种，加上不增加的一种，恰好是 ${\displaystyle \frac{n!}{m!}}$ 种。

所求即为 ${\displaystyle \frac{n!}{m!}}\varphi (m!)=n!(1-{\displaystyle \frac{1}{p_1}})(1-{\displaystyle \frac{1}{p_2}})\dots (1-{\displaystyle \frac{1}{p_{cnt}}})$。

前者预处理阶乘，后者预处理逆元，然后前缀预处理。

注意到当 $n\ge mod$，且 $m<mod$ 时，前者出现了一个 $0$，所以答案为 $0$。

然而当 $m\ge mod$ 时，需要约去这两个 $mod$，在预处理中实现。

查询使用 upper_bound 找到 $\le m$ 的位置的所有 $p$ 的答案。

复杂度 $O(N+T\log {\displaystyle \frac{N}{\ln n}})$。

https://www.luogu.com.cn/record/173972948