[ABC354D]

https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc354_d

https://atcoder.jp/contests/abc354/tasks/abc354_d

由图片可知，很显然每个 $4\times 2$​ 网格（称为单位网格）都是全等的。

为了方便，将 $A,B,C,D$ 都增加 ${10}^9$，因为 ${10}^{9}mod4={10}^{9}mod2=0$，所以图形没有变化。（很重要，这样就很明显只有 $8$ 种分讨的情况了）。

以下面积指 $\times 2$​ 后的值（即答案）。

然后我们利用前缀和技巧即可求出 $(A,B)$ 到 $(C,D)$ 的面积。

设 $S(x,y)$ 表示 $(0,0)$ 到$(x,y)$ 的面积。

于是考虑根据 $a=xmod4,b=ymod2$ 的情况大力分讨：

1. $b=0$（直接运算的方法）

   1. $a=0$，刚好是若干个单位网格，$S=x\times y$（单位网格内所有黑色、白色成对出现）
   2. $a=1$，刚好是若干个单位网格+往右扩展 $dy÷2$ 个，$S=(x-1)\times y+y÷2\times 3$。
   3. $a=2$，刚好是若干个单位网格+往右扩展 $dy÷2$ 个，$S=(x-2)\times y+y÷2\times 6$。
   4. $a=3$，刚好是若干个单位网格+往右扩展 $dy÷2$ 个，$S=(x-3)\times y+y÷2\times 7$。

2. $b=1$​（利用前缀和）

   1. $a=0$，发现多出来的一行恰好是若干个半个单位网格，$S==(x-1)\times y+x$。
   2. $a=1,2,3$，直接利用前缀和加上右上角的网格的面积（分别是，$+2,1,0$)。（计算按照 $a=0,1,2,3$ 的顺序，因为每次要利用 $S(x,y-1)$)。

时间复杂度 $O(1)$​。

如图，$S(A,B,C,D)=S(C,D)-S(A,D)-S(C,B)-S(A,B)$。

根据上图也可以解释上述分讨第2大类的求前缀和： $S(A,B)=S(A-1,B)+S(A,B-1)-S(A-1,B-1)+\text{val(A,B)}$。

https://atcoder.jp/contests/abc354/submissions/53651499