[ABC354D]
https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc354_d
https://atcoder.jp/contests/abc354/tasks/abc354_d
由图片可知，很显然每个 \(4\times 2\) 网格（称为单位网格）都是全等的。
为了方便，将 \(A,B,C,D\) 都增加 \(10^9\)，因为 \(10^9\bmod 4=10^9\bmod 2=0\)，所以图形没有变化。（很重要，这样就很明显只有 \(8\) 种分讨的情况了）。
以下面积指 \(\times 2\) 后的值（即答案）。
然后我们利用前缀和技巧即可求出 \((A,B)\) 到 \((C,D)\) 的面积。
设 \(S(x,y)\) 表示 \((0,0)\) 到$ (x,y)$ 的面积。
于是考虑根据 \(a=x\bmod 4,b=y\bmod 2\) 的情况大力分讨：
-
\(b=0\)（直接运算的方法）
- \(a=0\)，刚好是若干个单位网格，\(S=x\times y\)（单位网格内所有黑色、白色成对出现）
- \(a=1\)，刚好是若干个单位网格+往右扩展 \(dy\div 2\) 个
，\(S=(x-1)\times y+y\div 2\times 3\)。 - \(a=2\)，刚好是若干个单位网格+往右扩展 \(dy\div 2\) 个
，\(S=(x-2)\times y+y\div2\times 6\)。 - \(a=3\)，刚好是若干个单位网格+往右扩展 \(dy\div 2\) 个
，\(S=(x-3)\times y+y\div2\times 7\)。
-
\(b=1\)（利用前缀和）
- \(a=0\)，发现多出来的一行恰好是若干个半个单位网格，\(S==(x-1)\times y+x\)。
- \(a=1,2,3\)，直接利用前缀和加上右上角的网格的面积（分别是
，\(+2,1,0\))。（计算按照 \(a=0,1,2,3\) 的顺序，因为每次要利用 \(S(x,y-1)\))。
时间复杂度 \(O(1)\)。
如图，\(S(A,B,C,D)=S(C,D)-S(A,D)-S(C,B)-S(A,B)\)。
根据上图也可以解释上述分讨第2大类的求前缀和： \(S(A,B)=S(A-1,B)+S(A,B-1)-S(A-1,B-1)+\text{val(A,B)}\)。
