日记和最短路

A 日记和最短路

一句话题意

给定一个有权DAG（权值都是字符串），问从 $1$ 走到 $n$，求在长度最小的情况下使得字典序最小和字典序最小。

$1\le n\le {10}^5,n-1\le m\le 5\times {10}^5,|w_i|\le {10}^5,\sum |w_i|\le 2\times {10}^6$。

思路

先考虑网格图的情况。

此时，长度都是一样的，我们只需要根据当前点中往边权最小的那些走，其他都可以抛弃。

所有边权均为 $1$ 时，我们如果要保证长度最小，那么需要保证这条边在最短路上，这可以从起点和终点（反图）分别走一遍求得，转移时判断一下即可。

对于一般情况，直接做，无法区分a,a,c和aa,b这样的情况。可以考虑拆点，如 $abcd$，拆成 $u\to t_1\to t_2\to v$，$t$ 表示临时点，只是用于拆点。这样就转化到了边权为 $1$ 的情况。

总复杂度为 $O(\sum w_i)$。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cassert>
using namespace std;
const int N=2000010,M=N;
int n,m,cur,q[N],dis[N],dis2[N],len,nex[N],nlen,tmp[N],tlen;
char s[M],ans[M];
bool st[N];
struct edge{
	int h[N],e[M],ne[M],idx;
	char w[M];
	void init(){
		memset(h,-1,sizeof h);
	}
	void add(int a,int b,char c){
		w[idx]=c,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	}
	void bl(int x){
		for(int i=h[x];~i;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			cout<<j<<' ';
		}
		cout<<'\n';
	}
}g,G;
void bfs(int s,int dis[],struct edge&A){
	memset(dis,-1,sizeof dis2);
	dis[s]=0;
	int hh=0,tt=0;
	q[tt++]=s;
	while(hh!=tt){
		int t=q[hh++];
		// cout<<t<<'\n';
		for(int i=A.h[t];~i;i=A.ne[i]){
			int j=A.e[i];
			if(!~dis[j])dis[j]=dis[t]+1,q[tt++]=j;
		}
	}
}
void calc(bool v=0){
	len=0;
	nex[nlen=1]=1;
	tlen=0;
	while(nlen){
		tlen=0;
		char now='{';
		bool is_n=0;
		for(int i=1;i<=nlen;++i){
			int x=nex[i];
			// cout<<"x="<<x<<'\n';
			for(int ii=g.h[x];~ii;ii=g.ne[ii]){
				int j=g.e[ii];
				// cout<<x<<j<<dis[x]<<dis2[j]<<dis[n]<<'\n';
				if(!~dis2[j]||v&&dis[x]+1+dis2[j]>dis[n])continue;
				// cout<<j<<'\n';
				// cout<<x<<' '<<j<<'\n';
				if(g.w[ii]<now){
					tmp[tlen=1]=j;
					is_n=j==n;
					now=g.w[ii];
				}
				else if(g.w[ii]==now)tmp[++tlen]=j,is_n|=j==n;
			}
			// return;
		}
		// cout<<"tt="<<tlen<<'\n';
		// cout<<"now"
		ans[len++]=now;
		if(is_n)break;
		nlen=tlen;
		memcpy(nex+1,tmp+1,tlen*4);
	}
	// g.bl(1);
	ans[len++]=0;
	cout<<ans<<' ';
}
int main(){
	// ios::sync_with_stdio(0);
	// cin.tie(0);
	// cout.tie(0);
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    // freopen("1.out","w",stdout);
    #endif
	cin>>n>>m;
	g.init(),G.init();
	cur=n;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int a,b,l;
		cin>>a>>b>>s;
		l=strlen(s)-1;
		if(!l)g.add(a,b,s[0]),G.add(b,a,s[0]);
		else{
			g.add(a,++cur,s[0]),G.add(cur,a,s[0]);
			for(int i=1;i<l;++i,++cur)
				g.add(cur,cur+1,s[i]),G.add(cur+1,cur,s[i]);
			g.add(cur,b,s[l]),G.add(b,cur,s[l]);
		}
	}
	bfs(1,dis,g),bfs(n,dis2,G);
	calc(1),calc();
	return 0;
}